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Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

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6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.
6.2.5

423
R(x)xαdx . . . . . . . . . . 463

T´ıch phˆ
an da.ng I =
R+

6.3

6.4

6.1
6.1.1

6.2.6

ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
o´ v´ı du. kh´

o.t sˆ

6.2.7

˜
o i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
T`ım tˆ
o’ng cu’a chuˆ

H`
am nguyˆ
en v`
a h`
am phˆ
an h`ınh . . . . . . . . . .

495

6.3.1

H`
am phˆ
an h`ınh. B`
ai to´
an Cousin th´
u. nhˆ
a´t trong

a.t ph˘
a’ng ph´
u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

6.3.2

H`
am nguyˆen. B`
ai to´
an Cousin th´
u. hai trong m˘
a.t
.
ph˘
a’ng ph´
u c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

B`
ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

513

y thuyˆ
e´t th˘
a.ng du.
Co. so’. l´
- i.nh ngh˜ıa th˘
D
a.ng du.

`e th˘a.ng du. ta ch´
Tru.´o.c khi ph´at biˆe’u di.nh ngh˜ıa vˆ
y do.n
u.ng minh mˆo.t di.nh l´
gia’n sau dˆay
- i.nh l´
am f chı’nh h`ınh trong v`
anh tr`
on
D
y 6.1.1. Gia’ su’. h`
V = {z ∈ C : r < |z − a| < R}
o t´ıch phˆ
an
Khi d´
f (z)dz,

I(ρ) =

r<ρ
|z−a|=ρ

khˆ
ong phu. thuˆ
o.c v`
ao ρ.
Ch´
u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. r < ρ1 < ρ2 < R v`a γ(ρ1 ) = {|z − a| = ρ1 },
`e bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan theo c´ac tuyˆe´n
u. di.nh l´
y vˆ
γ(ρ2) = {|z − a| = ρ2 }. T`

Chu.o.ng 6. L´
y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u
´.ng du.ng

424
`ong luˆan suy ra r˘`ang


f (z)dz =
γ(ρ1 )

f (z)dx.
γ(ρ2 )

- i.nh ngh˜ıa 6.1.1. Gia’ su’. h`am f (z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a ho˘a.c c´o bˆa´t
D
thu.`o.ng cˆo lˆa.p d˘a.c t´ınh do.n tri. a. Gia’ su’. γ l`a du.`o.ng cong d´ong Jordan bao
`ong hˆ
`o. Khi d´o t´ıch phˆan
`eu kim dˆ
diˆe’m z = a v`a du.o..c di.nh hu.´o.ng ngu.o..c chiˆ
1
f (z)dz du.o..c go.i l`a th˘
a.ng du. cu’a h`am f (z) dˆo´i v´o.i diˆe’m a v`a du.o..c k´
y
2πi
γ

hiˆe.u l`a
Res [f ; a] =

1
2πi

f (z)dz.

(6.1)

γ

`on ta.i.
ung tˆ
Hiˆe’n nhiˆen chu tuyˆe´n γ tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa 6.1.1 bao gi`o. c˜
`eu kiˆe.n d˜a cho h`am f chı’nh h`ınh trong U (ρ) = {0 < |z−a| <
Thˆa.t vˆa.y, theo diˆ
y thuˆo.c U (ρ)
ρ}. Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y γ l`a du.`o.ng cong Jordan d´ong bˆa´t k`
.
.
.
khˆong di qua a nhu ng bao a, v´ı du. du `o ng tr`on γr = {|z − a| = r, r < ρ}.
y Cauchy v`a di.nh l´
y 6.1.1 suy ra r˘`ang th˘a.ng du. (6.1) c´o thˆe’ viˆe´t
T`
u. di.nh l´
du.´o.i da.ng
Res [f ; a] =

1
2πi

f (z)dz,

(6.2)

γ(a,r)

trong d´o du.`o.ng tr`on γ(a, r) cha.y theo hu.´o.ng du.o.ng v`a da.i lu.o..ng o’. vˆe´ pha’i
cu’a (6.2) khˆong phu. thuˆo.c v`ao r v`a ho`an to`an du.o..c x´ac di.nh bo’.i d´ang diˆe.u
di.a phu.o.ng cu’a h`am f ta.i diˆe’m a.
- i.nh ngh˜ıa 6.1.2. Gia’ su’. h`am f ∈ H{|z| > r} v`a z = ∞ l`a diˆe’m bˆa´t
D
thu.`o.ng cˆo lˆa.p cu’a h`am f (z). Da.i lu.o..ng
Res [f ; ∞] =

1
2πi

f (z)dz
γ − (0,R)

6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.

425

a.ng du. cu’a h`
am f ta.i diˆe’m ∞ trong d´o γ − (0, R) l`a du.`o.ng tr`on
du.o..c go.i l`a th˘
γ − (0, R) = {|z| = R} v´o.i b´an k´ınh du’ l´o.n du.o..c di.nh hu.´o.ng sao cho lˆan cˆa.n
diˆe’m ∞ luˆon luˆon n˘a`m bˆen tr´ai.
`e th˘a.ng du..
Ta c´o thˆe’ du.a ra di.nh ngh˜ıa ho..p nhˆa´t sau dˆay vˆ
- i.nh ngh˜ıa 6.1.3. Gia’ su’. a ∈ C l`a diˆe’m chı’nh h`ınh ho˘a.c diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng
D
cˆo lˆa.p do.n tri. cu’a h`am f . Gi´a tri. cu’a t´ıch phˆan cu’a h`am f theo biˆen cu’a lˆan
a.ng du. cu’a h`am f ta.i
cˆa.n du’ b´e cu’a diˆe’m z = a chia cho 2πi du.o..c go.i l`a th˘
diˆe’m a.
Theo di.nh l´
y Cauchy
Res [f ; a] = 0
nˆe´u h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a v`a a ∈ C. Th˘a.ng du. ta.i ∞ c´o thˆe’ kh´ac
1
0 khi h`am chı’nh h`ınh ta.i ∞. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’. f (z) = . Hiˆe’n nhiˆen diˆe’m
z
z = ∞ l`a khˆong diˆe’m do.n cu’a f v`a
Res [f ; ∞] =

1
2πi

1
dz = −1 = 0.
z
γ − (0,R)

Nhu. vˆa.y h`am chı’ c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du. = 0 ta.i diˆe’m a c´ach gˆo´c to.a dˆo. mˆo.t
khoa’ng c´ach h˜
u.u ha.n trong tru.`o.ng ho..p khi a thˆa.t su.. l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng,
trong khi d´o n´o c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du. = 0 ta.i ∞ thˆa.m ch´ı ca’ trong tru.`o.ng ho..p
h`am chı’nh h`ınh ta.i d´o.

6.1.2

ap t´ınh th˘
a.ng du.
Phu.o.ng ph´

Viˆe.c t´ınh th˘a.ng du. b˘a`ng c´ach xuˆa´t ph´at t`
u.c ph´
u. di.nh ngh˜ıa hˆe´t s´
u.c ta.p. Co.
˜e n l`a di.nh l´
so’. cho viˆe.c t´ınh to´an th˘a.ng du. mˆo.t c´ach thu..c tiˆ
y sau dˆay.
- i.nh l´
˜e n du.´
D
y 6.1.2. Gia’ su’. v´
o.i 0 < |z − a| < ρ h`
am f (z) c´
o thˆe’ biˆe’u diˆ
o.i
da.ng
an (z − a)n ,

f (z) =
−∞
(6.3)

Chu.o.ng 6. L´
y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u
´.ng du.ng

426
Khi d´
o

Res[f ; a] = a−1 .

(6.4)

Nˆe´u khi R < |z| < ∞
an z n

f (z) =

(6.5)

−∞
th`ı
Res[f ; ∞] = −a−1.

(6.6)

y
Ch´
u.ng minh. 1. Trong v`anh tr`on d´ong bˆa´t k`
0 < ρ1

|z − a|

ρ2 < ρ

`eu nˆen c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`
chuˆ˜o i (6.3) hˆo.i tu. dˆ
u.ng sˆo´ ha.ng chuˆ˜o i (6.3) theo
du.`o.ng tr`on γ(r) = {|z − a| = r; ρ1 r ρ2 }. Kˆe´t qua’ cu’a ph´ep t´ıch phˆan
d´o cho ta
1
2πi

f (z)dz = a−1 .
γ(r)

u.ng minh.
T`
u. d´o suy ra (6.4) du.o..c ch´
`eu trˆen du.`o.ng tr`on
2. V`ı chuˆ˜o i (6.1.5) hˆo.i tu. dˆ
γ(0, R) = {|z| = R, R > R}
nˆen c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`
u.ng sˆo´ ha.ng chuˆ˜o i d´o theo γ(0, R) v`a thu du.o..c
1
2πi

f (z)dz = −a−1.
γ − (0,R)

6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.

427

V´ı du. 1. Gia’ su’.
f (z) =

sin z
·
z6

T´ınh Res[f ; 0].
Gia’i. V`ı ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0 ta c´o
1
z3 z5
+
−...
z

z6
3!
5!
1
1
1
+ ...
+
= 5−
z
3!z 3 5!z

f (z) =

1
1
v`a Res[f ; 0] = .
5!
5!
V´ı du. 2. Ch´
u.ng minh r˘`ang nˆe´u

nˆen a−1 =

f (z) = z · cos

1
z+1

th`ı
1
Res[f ; −1] = − ·
2
Gia’i. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o
f (z) = [(z + 1) − 1] 1 −

1
+ ...
2(z + 1)2

v`a do d´o
1
a−1 = − ·
2
V´ı du. 3. Gia’ su’.
f (z) =
T´ınh Res[f ; 0].

1
·
z(1 − e−hz )

Chu.o.ng 6. L´
y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u
´.ng du.ng

428

1
Gia’i. Khi d´o Res[f ; 0] = . Thˆa.t vˆa.y, ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0 ta c´o
2
1
f (z) =
h2 z 2
+ ...
z 1 − 1 + hz −
2!
1
=
h2 z 3
+ ...
hz 2 −
2!
1
1
= 2+
+ ϕ(z),
hz
2z
`eu pha’i ch´
trong d´o ϕ(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z = 0. T`
u. d´o suy ra diˆ
u.ng minh.
`en D = C \ [0, 1] v`a h`am gia’i t´ıch trong d´o
V´ı du. 4. Ta x´et miˆ
F (z) =

8

z
·
1−z

T´ınh Res[f ; ∞], trong d´o f l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri. du.o.ng o’. b`o.
trˆen cu’a nh´at c˘a´t [0, 1].
`en D h`am F (z) c´o thˆe’ t´ach th`anh ba nh´anh chı’nh h`ınh.
Gia’i. Trong miˆ
Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri. du.o.ng o’. b`o. trˆen cu’a nh´at c˘a´t.
Ta s˜e khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆ˜o i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞. V´o.i
z ∈ D ta c´o
ϕ
z
ei 3 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 ,
f (z) = 8
1−z
trong d´o ϕ1 = ∆γ arg z, ϕ2 = ∆γ (1 − z), γ ⊂ D l`a du.`o.ng cong n˘`am trong D
v`a nˆo´i diˆe’m 0 + i0 v´o.i z ∈ D. Khi z = x > 1 ta c´o ϕ1 = 0, ϕ2 = −π. Do d´o
f (x) =

3

x iπ/3
e ,
x−1

v`a f (∞) = lim f (x) = eiπ/3 .
x→+∞
T`
u. d´o suy ra r˘`ang trong lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ ta c´o
1

iπ/3

f (z) = e

3

1−

iπ/3

1
z

=e

1
1−
z

− 13

,

6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.

429

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang
u. d´o dˆ
trong d´o c˘an th´
u.c nhˆa.n gi´a tri. 1 ta.i ∞. T`
 
1

iπ/3
 3  (−1)n z −n
f (z) = e
n
n≥0
v`a

1

Res[f ; ∞) = −eiπ/3  3  .
1


V´ı du. 5. Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am
F (z) =

1−z
1+z

α

,

α∈R

`en D = C \ [−1, +1]. T´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am f (z)
m`a f (0 + i0) = 1 trong miˆ
ta.i diˆe’m ∞ (v´ı du. 5.3.5).
Gia’i. Ta khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆo˜ i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞.
Ta c´o
f (∞) = lim f (x) = e−iαπ .
x→+∞

Tiˆe´p theo
1
z
1
1+
z

−1 +
f (z) =

α

= e−iαπ g(z),

trong d´o ta d˘a.t
1
z
1
1+
z

1−
g(z) =

α

·

Chu.o.ng 6. L´
y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u
´.ng du.ng

430

H`am g(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ v`a g(∞) = 1
1 α
z
f (z) =
1
1+
z
α α(α − 1) −2
1− +
z + ...
z
2!
=
α α(α − 1) −2
z + ...
1+ +
z
2!

=1−
+ ...
z
1−

T`
u. d´o suy ra r˘`ang
f (z) = eiπα 1 −


+ ...
z

v`a
Res [f ; ∞] = 2αeiαπ .
1−z
V´ı du. 6. Gia’ su’. f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am F (z) = Ln
m`a
1+z
.
`en D = C \ [−1, +1]. T´ınh th˘a.ng du cu’a h`am f (z) ta.i
f (0 + i0) = 0 trong miˆ
diˆe’m ∞ (v´ı du. 5.3.6).
Gia’i. Ta c´o
1−z
+ i(ϕ1 − ϕ2)
1+z
ϕ1 = ∆γ arg(1 − z), ϕ2 = ∆γ (1 + z),

f (z) = ln

trong d´o γ l`a tuyˆe´n thuˆo.c D nˆo´i diˆe’m z = 0 + i0 (diˆe’m 0 o’. b`o. trˆen cu’a nh´at
c˘´at) v´o.i diˆe’m z. Hiˆe’n nhiˆen khi z = iy, y > 0 th`ı ϕ1 = −ϕ2, ϕ2 = arctg y v`a
do d´o v´o.i y > 0.
f (iy) = −2iarcrg y,
v`ı |1 − iy| = |1 + iy|.

6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.

431

T`
u. d´o c˜
ung r´
ut ra r˘`ang
f (∞) = lim f (iy) = −πi.
y→∞

Do d´o ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = ∞ ta c´o
1
−1 +
z
f (z) = ln
1
1+
z
1
1
− ln 1 +
,
z
z
trong d´o c´ac logarit o’. vˆe´ pha’i chı’nh h`ınh ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞ v`a b˘`ang 0 khi
z = ∞.
˜e d`ang thˆa´y r˘`ang

= −πi + ln 1 −

f (z) = −πi −
n 1

1

nz n n

= − πi +
n 0

1

(−1)n+1
nz n

2
,
(2n + 1)z 2n+1

1 < |z| < ∞.

ut ra
v`a t`
u. d´o r´
Res[f ; ∞] = +2.
Trong c´ac v´ı du. trˆen dˆay, viˆe.c khai triˆe’n h`am th`anh chuˆo˜ i Laurent du.o..c tiˆe´n
˜e d`ang. Tuy nhiˆen tuyˆe.t da.i da sˆo´ tru.`o.ng ho..p ph´ep khai
h`anh mˆo.t c´ach dˆ
triˆe’n d´o du.o..c tiˆe´n h`anh rˆa´t kh´o kh˘an.
˘. NG DU. TA
ˆ’ M BA
ˆ´T THU.O
`.NG CO
ˆ´T YE
ˆ´U. Nˆe´u diˆe’m z = a
I. THA
. I DIE
l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cˆo´t yˆe´u cu’a h`am f (z) th`ı dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am ta.i
`an t`ım phˆ
`an ch´ınh cu’a khai triˆe’n Laurent v`a su’. du.ng cˆong th´
diˆe’m d´o ta cˆ
u.c
(6.4) nˆe´u a ∈ C, cˆong th´
u.c (6.6) nˆe´u a = ∞.
.
˘. NG DU. TA
ˆ’ M. Trong tru.`o.ng ho..p khi a l`a cu..c diˆe’m
II. THA
. I CU
. C DIE
u.c (6.4) v`a (6.6)
cu’a h`am f , dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. ta.i diˆe’m a, thay cho cˆong th´
u.ng cˆong th´
u.c s˜e ch´
u.ng
(su’. du.ng khai triˆe’n Laurent) ta thu.`o.ng su’. du.ng nh˜
`an t`ım da.o h`am. Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho..p cu. thˆe’ sau dˆay.
minh du.´o.i dˆay chı’ cˆ
o.ng ho..p cu..c diˆe’m do.n
1. Tru.`

Chu.o.ng 6. L´
y thuyˆe´t th˘a.ng du. v`a u
´.ng du.ng

432

- i.nh l´
am f (z) th`ı th˘
a.ng du. cu’a f
D
y 6.1.3. Nˆe´u a l`
a cu..c diˆe’m do.n cu’a h`
ong th´
u.c
ta.i a du.o..c t´ınh theo cˆ
Res[f ; a] = lim(z − a)f (z).
z→a

(6.7)

Ch´
u.ng minh. Ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m a khai triˆe’n Laurent cu’a h`am f (z) c´o da.ng
f (z) = a−1 (z − a)−1 +

an (z − a)n
n 0

v`a t`
u. d´o suy ra
a−1 = lim(z − a)f (z).
z→a

u.c
Nhu. vˆa.y, dˆe’ t´ınh th˘a.ng du. ta.i cu..c diˆe’m do.n ta c´o cˆong th´
Res[f (z); a] = lim(z − a)f (z).
z→a

ϕ(z)
, trong d´

e. qua’ 6.1.1. Nˆe´u f (z) =
o ϕ v`
a ψ l`
a nh˜
u.ng h`
am
ψ(z)
`eu kiˆe.n ϕ(a) = 0, ψ(a) = 0,
chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a tho’a m˜
an diˆ
ψ (a) = 0 th`ı
Res[f ; a] =

ϕ(a)
·
ψ (a)

u. (6.7) ta c´o
Ch´
u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v`ı a l`a cu..c diˆe’m cu’a f (z) nˆen t`
(z − a)ϕ(z)
z→a
ψ(z)
ϕ(z)
ϕ(a)
·
= lim
=
z→a ψ(z) − ψ(a)
ψ (a)
z−a

Res[f ; a] = lim

(6.8)

6.1. Co. so’. l´
y thuyˆe´t th˘a.ng du.

433

2n + 1
π, n ∈ Z.
V´ı du. 7. T`ım th˘a.ng du. cu’a h`am w = tg z ta.i c´ac diˆe’m zn =
2
sin z
, cos zn = 0, cos z zn = − sin zn . Do d´o t`
u. (6.8)
Gia’i. Ta c´o tg z =
cos z
ta c´o
Res[tg z; zn ] =

sin zn
= −1.
− sin zn

o.ng ho..p cu..c diˆe’m bˆ
o.i. Ta c´o di.nh l´
y sau dˆay:
Tru.`
- i.nh l´
D
y 6.1.4. Nˆe´u a l`
a cu..c diˆe’m cˆ
a´p m cu’a h`
am f (z) th`ı
1
dm−1
Res[f ; a] =
lim m−1 (z − a)m f (z) .
z→a
(m − 1)!
dz

(6.9)

Ch´
u.ng minh. V`ı a l`a cu..c diˆe’m cˆa´p m cu’a h`am f (z) nˆen
f (z) =

am
a−1
+
+ ··· +
m
(z − a)
z−a n

an (z − a)n
0

v`a t`
u. d´o
(z − a)m f (z) = a−m + a−m+1 (z − a) + · · · + a−1(z − a)m−1
an (z − a)n+m .

+
n 0

`an liˆen tiˆe´p ta c´o
Lˆa´y vi phˆan biˆe’u th´
u.c (6.10) m − 1 lˆ
dm−1
[(z − a)m f (z)] = (m − 1)! a−1 + m! a0(z − a) + . . .
dz m−1
v`a chuyˆe’n qua gi´o.i ha.n khi z → a ta thu du.o..c (6.9).
V´ı du. 8. T´ınh th˘a.ng du. cu’a h`am
f (z) =
dˆo´i v´o.i diˆe’m z = i.

(z 2

1
+ 1)3

(6.10)