Tải bản đầy đủ
Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann

Chương 5 Hàm đa trị và diện Riemann

Tải bản đầy đủ

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

370

5.5

5.4.1

`au . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

o.t sˆ
o´ v´ı du. mo’. dˆ

5.4.2

Phu.o.ng ph´
ap du..ng diˆe.n Riemann . . . . . . . . . 419

B`
ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420

`en cho
Trong c´ac chu.o.ng tru.´o.c ta d˜a x´et c´ac h`am chı’nh h`ınh trong miˆ
`en d´o. Su..
tru.´o.c v`a d˜a khˆong quan tˆam dˆe´n ba’n chˆa´t cu’a h`am o’. ngo`ai miˆ
`an thiˆe´t dˆe’ c´o su.. kha’o s´at c´ac h`am
kha’o s´at c´o t´ınh chˆa´t “di.a phu.o.ng” d´o l`a cˆ
`en tˆ
`on ta.i n´oi chung cu’a
mˆo.t c´ach to`an cu.c - t´
u.c l`a kha’o s´at h`am trong miˆ
n´o.
Nguyˆen nhˆan chung trong su.. xuˆa´t hiˆe.n t´ınh da tri. cu’a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch
`en cho tru.´o.c ra miˆ
`en rˆo.ng ho.n l`a o’. chˆ˜o : c´ac
mˆo.t h`am chı’nh h`ınh t`
u. mˆo.t miˆ
u.c C khˆong pha’i l`a mˆo.t tˆa.p ho..p du.o..c s˘a´p th´
u. tu..,
diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´
trong khi ph´ep th´ac triˆe’n chı’ c´o thˆe’ do.n tri. trong tru.`o.ng ho..p khi ta c´o mˆo.t
u.a c´ac diˆe’m m`a trˆen d´o qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c
th´
u. tu.. cˆo´ di.nh gi˜
˜e n ra.
diˆ
`eu c˜
`an nhˆa´n ma.nh l`a trong l´
ung cˆ
y thuyˆe´t h`am ngu.`o.i ta khˆong
Mˆo.t diˆ
u. c´ac h`am da tri. v`ı ngay c´ac h`am ngu.o..c cu’a nh˜
u.ng h`am
du.o..c ph´ep loa.i tr`
`e co. ba’n
ung d˜a c´o thˆe’ l`a khˆong do.n tri.. Do d´o vˆa´n dˆ
do.n tri. gia’n do.n nhˆa´t c˜
`an xˆay du..ng mˆo.t quan diˆe’m khˆong mˆau thuˆ˜a n, cˆan dˆo´i v`a logic dˆo´i v´o.i
l`a cˆ
c´ac h`am da tri..

5.1

ap th´
ac triˆ
e’n cu’a Weierstrass
Phu.o.ng ph´

`au tiˆen h`am chı’ du.o..c x´ac di.nh o’. trong h`ınh
Trong l´
y thuyˆe´t Weierstrass, dˆ
`au tiˆen. Sau d´o, h`am du.o..c x´ac di.nh bo’.i c´ac
tr`on hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i lu˜
y th`
u.a dˆ
gi´a tri. cho bo’.i chuˆ˜o i d´o v`a mo.i th´ac triˆe’n cu’a n´o.
Trong mu.c n`ay ta s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach ng˘a´n go.n qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n
ap chuˆ
a’n cu’a th´ac triˆe’n.
gia’i t´ıch theo Weierstrass hay c`on go.i l`a phu.o.ng ph´

5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass

5.1.1

371

´
`an tu’. ch´ınh t˘
Phˆ
ac

`en D trong di.nh ngh˜ıa 13.1 l`a mˆo.t h`ınh tr`on. Nˆe´u tˆam a cu’a h`ınh
Gia’ su’. miˆ
tr`on thuˆo.c C (h˜
u.u ha.n !) th`ı h`ınh tr`on d´o c´o da.ng
S(a) = {|z − a| < Ra , Ra

∞}.

Nˆe´u a = ∞ th`ı S(a) = {|z| > Ra , Ra 0}. Khi d´o trong h`ınh tr`on S(a) h`am
˜e n du.´o.i da.ng
f c´o thˆe’ biˆe’u diˆ


an (z − a)n , z ∈ {|z − a| < Ra };

fa (z) = n 0

an z −n ,
z ∈ {|z| > Ra }.

n 0

- i.nh ngh˜ıa 5.1.1. C˘a.p Pa = (S(a); fa(z)), trong d´o fa (z) l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i
D
lu˜
y th`
u.a v´o.i tˆam ta.i diˆe’m a v`a S(a) l`a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a n´o du.o..c go.i l`a
´
`an tu’. ch´ınh t˘
mˆo.t phˆ
ac v´o.i tˆam ta.i a v`a S(a) du.o..c go.i l`a h`ınh tr`on hˆo.i tu.
cu’a Pa .
`an tu’. ch´ınh t˘´ac viˆe.c di.nh ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c
Dˆo´i v´o.i c´ac phˆ
`an do.n gia’n ho.n v`ı c´ac h`ınh tr`on hˆo.i tu. giao
tiˆe´p v`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch c´o phˆ
`an thiˆe´t pha’i chı’ r˜o ph´ep
nhau theo mˆo.t tˆa.p ho..p liˆen thˆong v`a do d´o khˆong cˆ
`an liˆen thˆong n`ao cu’a giao.
th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c tiˆe´n h`anh qua th`anh phˆ
Ta c´o
- i.nh ngh˜ıa 5.1.2. Gia’ su’. S(a1), S(a2), . . . , S(an ) l`a d˜ay h˜
D
u.u ha.n c´ac h`ınh
tr`on thuˆo.c C sao cho tˆam ai+1 cu’a h`ınh tr`on S(ai+1 ) n˘`am trong h`ınh tr`on
o.t x´ıch. Nˆe´u fai (z)
S(ai), i = 1, 2, . . . , n − 1. D˜ay h`ınh tr`on ˆa´y du.o..c go.i l`a mˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac v´o.i h`ınh tr`on hˆo.i tu. S(ai) v`a fai+1 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i
l`a phˆ
ac triˆe’n
t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fai , i = 1, 2, . . . , n − 1 th`ı ta n´oi r˘a`ng fa1 du.o..c th´
gia’i t´ıch theo x´ıch c´
ac h`ınh tr`
on.
`an tu’. ch´ınh t˘´ac fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a
T`
u. d´o ta r´
ut ra l`a: phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac fa (z) nˆe´u
phˆ
a) ho˘a.c fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fa(z);

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

372

`an tu’.
b) ho˘a.c fb (z) l`a khˆau cuˆo´i c`
ung cu’a mˆo.t x´ıch h˜
u.u ha.n c´ac phˆ
fa(z) = fa1 (z), fa2 (z), . . . , fan (z) = fb (z),
trong d´o mˆo˜ i chuˆ˜o i faj (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a faj−1 (z), j =
1, . . . , n − 1.
˜e d`ang thˆa´y r˘`ang quan hˆe. th´ac triˆe’n gia’i t´ıch gi˜
`an tu’. ch´ınh

u.a c´ac phˆ
t˘a´c c´o c´ac t´ınh chˆa´t:
`an tu’. ch´ınh t˘´ac l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a ch´ınh
1. t´ınh pha’n xa.: mˆ˜o i phˆ
n´o;
`an tu’. ch´ınh t˘´ac fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a
2. t´ınh dˆ
o´i x´
u.ng: nˆe´u phˆ
`an tu’. fa(z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ
`an tu’. fb (z);
`an tu’. fa (z) th`ı phˆ
phˆ
´c cˆ
`an tu’.
`au: Nˆe´u phˆ
`an tu’. fb (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ
3. t´ınh b˘
a
`an tu’. fc (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a fb (z) th`ı fc (z) l`a th´ac triˆe’n
fa (z), phˆ
gia’i t´ıch cu’a fa (z).

5.1.2

- iˆ
´
`an tu’. ch´ınh t˘
o.ng cu’a phˆ
D
e’m bˆ
a´t thu.`
ac

`an tu’. ch´ınh t˘´ac v´o.i tˆam a v`a b´an k´ınh hˆo.i tu. Ra . Ta x´et
Gia’ su’. fa (z) l`a phˆ
diˆe’m s n`ao d´o trˆen biˆen γ(Ra ) = {|z − a| = Ra } cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a
fa (z). C´ac diˆe’m cu’a γ(Ra ) = γ(R) c´o thˆe’ chia th`anh hai l´o.p.
`on ta.i phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘a´c fs (z)
1. Ta.i diˆe’m s d˜a cho cu’a du.`o.ng tr`on γ(R) tˆ
u.ng diˆe’m n`ay du.o..c go.i l`a nh˜
u.ng diˆe’m
l`a th´ac triˆe’n tru..c tiˆe´p cu’a fa (z). Nh˜
ch´ınh quy cu’a fa (z).
`on ta.i. Nh˜
`an tu’. nhu. thˆe´ khˆong tˆ
u.ng diˆe’m n`ay du.o..c go.i l`a nh˜
u.ng
2. Phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac fa(z).
diˆe’m bˆ
a´t thu.`
o.ng cu’a phˆ
T`
u. di.nh ngh˜ıa diˆe’m ch´ınh quy suy ra r˘a`ng: nˆe´u z0 ∈ γ(Ra ) l`a diˆe’m ch´ınh
`eu l`a diˆe’m ch´ınh quy. Do d´o, nˆe´u
quy th`ı mo.i diˆe’m cu’a cung δ z0 n`ao d´o dˆ
`on ta.i vˆo sˆo´ diˆe’m ch´ınh quy. Ngu.o..c la.i
`on ta.i mˆo.t diˆe’m ch´ınh quy th`ı s˜e tˆ

`eu n`ay, diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng c´o thˆe’ l`a duy nhˆa´t.
v´o.i diˆ
`an tu’. ch´ınh
V`ı biˆen γ(Ra ) l`a d´ong nˆen c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a mˆo.t phˆ
t˘a´c lˆa.p th`anh mˆo.t tˆa.p ho..p d´ong. N´oi c´ach kh´ac, diˆe’m gi´o.i ha.n cu’a c´ac diˆe’m
ung l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng.
bˆa´t thu.`o.ng c˜

5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass

373

`an tu’. ch´ınh t˘´ac ta c´o
`e diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a phˆ

- i.nh l´
on hˆ
o.i tu. cu’a
D
y 5.1.1. Trˆen biˆen γ(Ra ) = {|z − a| = Ra } cu’a h`ınh tr`
˜ i lu˜y th`
´c.
`an tu’. ch´ınh t˘
o ´ıt nhˆ
a´t mˆ
o.t diˆe’m bˆ
a´t thu.`
o.ng cu’a phˆ
a
chuˆ
o
u.a fa (z) c´
`on ta.i mˆo.t diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng n`ao cu’a
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. trˆen γ(Ra ) khˆong tˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac. Khi d´o h`am n`ay c´o thˆe’ th´ac triˆe’n gia’i t´ıch dˆe´n mo.i diˆe’m
phˆ
y hiˆe.u l`a ϕ(z). Nhu.
n˘a`m trˆen γ(Ra ). Kˆe´t qua’ cu’a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c k´
vˆa.y ϕ(z) ≡ fa (z), z ∈ S(a). Theo di.nh ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch, dˆo´i v´o.i mˆo˜ i
`eu tˆ
`on ta.i h`ınh tr`on S(ζ) v´o.i tˆam ta.i ζ m`a trong d´o ϕ(z)
diˆe’m ζ ∈ γ(Ra ) dˆ
chı’nh h`ınh.
Nhu. vˆa.y du.`o.ng tr`on γ(Ra ) du.o..c phu’ bo’.i vˆo sˆo´ h`ınh tr`on v´o.i tˆam n˘`am
trˆen γ(Ra).
`e Heine - Borel, t`
u. phu’ vˆo ha.n d´o c´o thˆe’ tr´ıch mˆo.t phu’ con h˜
u.u
Theo bˆo’ dˆ
`on ta.i hˆe. c´ac h`ınh tr`on S(ζj ) j = 1, 2, . . . , n; ζj ∈ γ(Ra ) phu’
ha.n, ngh˜ıa l`a tˆ
`e nhau S(ζj ) v`a S(ζj+1 )
γ(Ra). Gia’ su’. zj l`a mˆo.t diˆe’m cu’a giao hai h`ınh tr`on kˆ
(j = 1, 2, . . . , n; S(ζn+1 ) ≡ S(ζ1 )) n˘`am ngo`ai S(a). Ta d˘a.t R = min |zj − a|.
1 j n
ung v´o.i fa (z) trong S(a) v`a chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on
Khi d´o h`am ϕ(z) tr`
u. d´o suy ra r˘`ang h`am fa (z) biˆe’u
l´o.n ho.n S0 (a) = {|z − a| < R, R > Ra }. T`
˜e n chuˆ˜o i lu˜
diˆ
y th`
u.a hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on S0(a) v´o.i b´an k´ınh hˆo.i tu. R > Ra .
`eu n`ay khˆong thˆe’ xa’y ra.
Nhu.ng diˆ
Ta c´o hˆe. qua’ sau dˆay.
˜
`

e. qua’ 5.1.1. B´
an k´ınh hˆ
o.i tu. cu’a chuˆ
o i lu˜y th`
u.a fa (z) b˘
ang khoa’ng c´
ach
.
.
.
.
´
`an nhˆ
`an tu’ ch´ınh t˘
a´t thu `
am a dˆe´n diˆe’m bˆ
o ng gˆ
a´t cu’a phˆ
ac.
t`
u tˆ
`eu tru.`o.ng ho..p, diˆ
`eu kh˘a’ng di.nh n`ay cho ph´ep ta t`ım b´an k´ınh
Trong nhiˆ
.
hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i lu˜
y th`
u a mˆo.t c´ach rˆa´t c´o hiˆe.u lu..c m`a khˆong su’. du.ng cˆong
th´
u.c Cauchy - Hadamard.

5.1.3

ap th´
ac triˆ
e’n cu’a Weierstrass
Phu.o.ng ph´

Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a Weierstrass du..a trˆen viˆe.c ´ap du.ng mˆo.t
`en D th`ı
c´ach c´o hˆe. thˆo´ng chuˆ˜o i Taylor. Nˆe´u h`am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

374

n´o c´o thˆe’ khai triˆe’n th`anh chuˆo˜ i Taylor ta.i lˆan cˆa.n cu’a mˆo˜ i diˆe’m z0 ∈ D v´o.i
b´an k´ınh hˆo.i tu. R0 khˆong b´e ho.n khoa’ng c´ach ng˘a´n nhˆa´t δ0 t`
u. z0 dˆe´n biˆen
u.a
∂D. Nˆe´u b´an k´ınh hˆo.i tu. l´o.n ho.n khoa’ng c´ach ng˘a´n nhˆa´t d´o th`ı chuˆo˜ i v`
`an h`ınh tr`on n˘a`m ngo`ai miˆ
`en
thu du.o..c s˜e x´ac di.nh h`am chı’nh h`ınh trong phˆ
u.a thu
D v`a tr`
ung v´o.i f (z) trong h`ınh tr`on {|z − z0| < δ0 }. Do d´o chuˆ˜o i v`
y 13.5)
du.o..c cho ta th´ac triˆe’n h`am v`ao h`ınh tr`on |z − z0| < R0 } (xem di.nh l´
.
`e sau ta chı’ cˆ
`an x´et c´ac khai triˆe’n Taylor v`a d`
ung c´ac khai
Nhu vˆa.y, vˆ
triˆe’n d´o dˆe’ thu..c hiˆe.n th´ac triˆe’n gia’i t´ıch.
`au t`
u.
Nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap Weierstrass l`a nhu. sau. Gia’ su’. ta b˘a´t dˆ
chuˆ˜o i lu˜
y th`
u.a
an (z − a1 )n

fa1 (z) =

(5.1)

n 0

c´o b´an k´ınh hˆo.i tu. h˜
u.u ha.n Ra1 > 0. Chuˆo˜ i d´o s˜e x´ac di.nh h`am fa1 (z) chı’nh
h`ınh trong h`ınh tr`on S(a1) = {|z −a1| < Ra1 }. Nˆe´u ta lˆa´y diˆe’m a2 v´o.i modun
˜e d`ang thˆa´y r˘`ang c´ac gi´a tri. fa1 (a2), fa (a2), . . . , d(p)
b´e ho.n Ra1 , th`ı dˆ
a1 (a2 )
1
`e m˘a.t l´
y thuyˆe´t) theo c´ac cˆong th´
u.c
du.o..c t´ınh (vˆ


fa(p)
(a2)
1

n(n − 1) · · · (n − p + 1)an (a2 − a1)n−p .

=
n=p

Do d´o ta c´o thˆe’ x´et chuˆ˜o i Taylor
(p)

p 0

fa1 (a2)
(z − a2)p ;
p!

(0! = 1).

(5.2)

Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng viˆe.c khai triˆe’n h`am fa1 (z) th`anh chuˆo˜ i theo c´ac lu˜
y
.
.
th`
u a cu’a (z − a2) c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh mˆo.t c´ach nhanh ch´ong b˘`ang c´ach du. a v`ao
hˆe. th´
u.c
(z − a)n = [(z − a2) + (a2 − a1 )]n
Cnk (a2 − a1)n−k (z − a2)k

=
0 k n

5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass

375

u.c v`
u.a viˆe´t v`ao (5.1).
v`a nh´om c´ac t`
u. cu’a chuˆo˜ i thu du.o..c sau khi thˆe´ biˆe’u th´
Gia’ su’. chuˆ˜o i (5.2) hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on
S(a2) = {|z − a2| < Ra2 , Ra2

Ra1 − |a2 − a1 |}.

Nˆe´u Ra2 = Ra1 − |a2 − a1| th`ı h`ınh tr`on S(a2 ) tiˆe´p x´
uc trong v´o.i h`ınh tr`on
S(a1). Trong tru.`o.ng ho..p n`ay ta khˆong thu du.o..c th´ac triˆe’n gia’i t´ıch.
Gia’ su’. Ra2 > Ra1 − |a2 − a1 |. Khi d´o h`ınh tr`on S(a2) vu.o..t ra kho’i gi´o.i
ha.n cu’a h`ınh tr`on S(a1). Trong h`ınh tr`on S(a2) chuˆo˜ i (5.2) x´ac di.nh h`am
fa2 (z) chı’nh h`ınh trong S(a2) v`a
fa1 (z) ≡ fa2 (z),

z ∈ S(a1) ∩ S(a2).

u. h`ınh tr`on S(a1 )
Do d´o fa2 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a fa1 (z) t`
v`ao h`ınh tr`on S(a2).
`en S(a1) ∪ S(a2) ta thu du.o..c h`am chı’nh h`ınh
Nhu. vˆa.y, trong miˆ

f (z), z ∈ S(a ),
a1
1
f (z) =
fa (z), z ∈ S(a2 ).
2

N´oi c´ach kh´ac: h`am f (z) chı’nh h`ınh trong
`en gi´o.i ha.n bo’.i c´ac cung tr`on AmB v`a AnB
miˆ
ung thˆa´y r˘`ang nˆe´u z = a3
(h`ınh V.1). T`
u. d´o ta c˜
thuˆo.c h`ınh qua.t Aa1B cu’a S(a1) th`ı b´an k´ınh hˆo.i
˜e n h`am f (z) ta.i
tu. cu’a mˆo˜ i chuˆ˜o i Taylor biˆe’u diˆ
.
u. diˆe’m a3
diˆe’m a3 s˜e khˆong b´e ho n khoa’ng c´ach t`
`en AmBnA v`a l´o.n ho.n Ra1 −|a3|,
dˆe´n biˆen cu’a miˆ
`eu cho ph´ep
v`a mˆo˜ i diˆe’m cu’a h`ınh qua.t Aa1B dˆ
th´ac triˆe’n gia’i t´ıch h`am f (z) ra kho’i gi´o.i ha.n
`en
cu’a S(a1 ). Do d´o, nˆe´u dˆo´i v´o.i a2 n`ao d´o miˆ
Ra2 = Ra1 − |a2| th`ı ta khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n gia’i
H`ınh V.1
.
t´ıch b˘a`ng c´ach xuˆa´t ph´at t`
u c´ac diˆe’m n˘a`m trˆen b´an k´ınh a1H di qua diˆe’m
a2, trong d´o H l`a diˆe’m cuˆo´i cu’a b´an k´ınh h`ınh tr`on S(a1). Trong tru.`o.ng ho..p
n`ay, diˆe’m H l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a fa1 (z).

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

376

V`ı trˆen biˆen cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜ i lu˜
y th`
u.a c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t diˆe’m
ung c´o thˆe’
bˆa´t thu.`o.ng nˆen c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng c´o thˆe’ ro.i v`ao A ho˘a.c B. C˜
`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng dˆo´i v´o.i
xa’y ra tru.`o.ng ho..p mo.i diˆe’m cu’a AmBnA dˆ
u.a. Gia’ su’. r˘a`ng khˆong
f (z), khi d´o f (z) khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n rˆo.ng ho.n n˜
`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng. Khi d´o t`ım du.o..c diˆe’m
pha’i mo.i diˆe’m cu’a AmBnA dˆ
a3 v`a chuˆo˜ i

q 0

f (q) (a3 )
(z − a3 )q
q!

`an h`ınh
v´o.i h`ınh tr`on hˆo.i tu. S(a3 ) vu.o..t ra kho’i gi´o.i ha.n AmBnA. Trong phˆ
.
.
.
tr`on S(a3) n˘`am ngo`ai AmBnA ta s˜e thu du o. c mˆo.t th´ac triˆe’n m´o i cu’a f (z)
`an phˆan biˆe.t a3 thuˆo.c S(a1 ) hay S(a2 ). Nhu. vˆa.y ta thu du.o..c
m`a khˆong cˆ
h`am chı’nh h`ınh



f (z), z ∈ S(a1),

 a1
f (z) = fa2 (z), z ∈ S(a2),



fa (z), z ∈ S(a3).
3

Sau khi bu.´o.c th´
u. hai n`ay d˜a ho`an th`anh ta chuyˆe’n sang bu.´o.c th´
u. ba,
th´
u. tu.,...
`on ta.i mˆo.t d˜ay c´ac phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac
Gia’ su’. tˆ
fa1 (z), fa2 (z), fa3 (z), . . . , fan (z);
sao cho chuˆ˜o i faj (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a faj−1 (z), 1 j n−1.
`an tu’. ch´ınh t˘´ac fan (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘a´c
Khi d´o phˆ
fa1 (z) do.c theo dˆay x´ıch c´ac h`ınh tr`on S(a1), S(a2), . . . , S(an ).
Thuˆa.t to´an d˜a nˆeu trˆen dˆay dˆe’ th´ac triˆe’n gia’i t´ıch c´o thˆe’ tiˆe´n h`anh vˆo
ha.n nˆe´u ta cho.n tˆam cu’a c´ac khai triˆe’n Taylor l`a nh˜
u.ng diˆe’m ch´ınh quy ng`ay
`an tu’. ch´ınh t˘´ac d˜a thu du.o..c.
c`ang m´o.i dˆo´i v´o.i c´ac phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘a´c faj (z) v`a faj−1 (z) l`a th´ac triˆe’n
Ta nhˆa.n x´et r˘`ang v`ı hai phˆ
gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p cu’a nhau nˆen
∂S(aj ) ∩ ∂S(aj−1) = ∅.

5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass

377

Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u S(aj ) ⊂ S(aj−1 ) th`ı faj (z) l`a h`am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on
tˆam aj b´an k´ınh l´o.n ho.n b´an k´ınh Raj . Do d´o h`ınh tr`on S(aj ) khˆong c`on l`a
u.a.
h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a faj (z) n˜
`au tiˆen f1(z) du.o..c cho trong h`ınh tr`on S(0) = {|z| <
V´ı du. 1. Gia’ su’. h`am dˆ
1} bo’.i chuˆ˜o i
zn .

f1 (z) =
n 0

1
.
1−z
uy y
´ trong h`ınh tr`on S(0) v`a khai triˆe’n h`am f1 (z)
Ta cho.n diˆe’m z0 = 0 t`
˜e d`ang thˆa´y r˘`ang khai triˆe’n Taylor cu’a f1 (z) ta.i
theo lu˜
y th`
u.a (z − z0 )n . Dˆ
lˆan cˆa.n z0 c´o da.ng
Hiˆe’n nhiˆen tˆo’ng f1 (z) =

(n)

f2(z) =

a1n (z − z0)n ,

a1n =

1
f1 (z0 )
=
·
n!
(1 − z0 )n+1

Do d´o
(z − z0 )n
·
(1 − z0 )n+1

f2(z) =

˜e d`ang kiˆe’m tra r˘a`ng b´an k´ınh hˆo.i tu. R0 cu’a chuˆo˜ i n`ay b˘a`ng |1 − z0 |. Nˆe´u

diˆe’m z0 khˆong n˘`am trˆen doa. n [0, 1] th`ı R0 = |1 − z0| > 1 − |z0 |, ngh˜ıa l`a R0
l´o.n ho.n khoa’ng c´ach t`
u. z0 dˆe´n du.`o.ng tr`on ∂S(0). Do d´o, h`ınh tr`on hˆo.i tu.
S(z0) = {|z − z0 | < R0 } vu.o..t ra kho’i gi´o.i ha.n cu’a du.`o.ng tr`on ∂S(0). Trong
1
h`ınh tr`on S(z0 ) chuˆo˜ i trˆen dˆay x´ac di.nh h`am chı’nh h`ınh f2 (z) =
v`a
1−z
f2 (z) = f1 (z),

z ∈ S(0) ∩ S(z0).

u. S(0) v`ao S(z0). V`ı R0 = |1−z0 |
Nhu. vˆa.y f2 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 t`
b˘a`ng khoa’ng c´ach t`
u. diˆe’m 1 dˆe´n diˆe’m z0 nˆen v´o.i mo.i vi. tr´ı cu’a z0 trong S(0)
`eu pha’i di qua diˆe’m z = 1.
biˆen ∂S(z0) dˆ
Bˆay gi`o. ta lˆa´y diˆe’m z1 = z0, z1 ∈ {|z − z0| < |1 − z0 |} l`am tˆam v`a la.i thu
du.o..c khai triˆe’n

n 0

(z − z1)n
1 − z1)n+1

378

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

1
hˆo.i tu. trong h`ınh tr`on S(z1) = {|z − z1| < |1 − z1 |} dˆe´n h`am f3 (z) =
1−z
`an chung cu’a S(z1) v´o.i miˆ
`en x´ac di.nh
tr`
ung v´o.i h`am f1 v`a f2 trong c´ac phˆ
`en S(z1 ) =
cu’a h`am f1 v`a f2 . Do d´o f3 (z) l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 ra miˆ
`eu
{|z − z1|, |1 − z1|}. V´o.i mo.i vi. tr´ı cu’a diˆe’m z1 biˆen cu’a h`ınh tr`on S(z1) dˆ
pha’i di qua diˆe’m z = 1.
B˘`ang c´ach l˘a.p la.i qu´a tr`ınh d´o, ta thu du.o..c th´ac triˆe’n gia’i t´ıch h`am f1(z)
ra to`an m˘a.t ph˘a’ng tr`
u. diˆe’m z = 1. Nhu. vˆa.y h`am
F (z) =

1
1−z

`en D = C \ {1}.
l`a th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a f1 (z) t`
u. h`ınh tr`on do.n vi. ra miˆ
`e m˘a.t l´
Nhˆ
a.n x´et 5.1.1. 1. Vˆ
y thuyˆe´t, phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Wreierstrass tiˆe.n lo..i trong mo.i tru.`o.ng ho..p. Nhu.ng trong c´ac b`ai to´an cu. thˆe’, viˆe.c
`eu kh´o kh˘an bo’.i t´ınh ph´
u.c ta.p cu’a n´o.
´ap du.ng phu.o.ng ph´ap d´o g˘a.p rˆa´t nhiˆ
y
2. Qu´a tr`ınh th´ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c tr`ınh b`ay trˆen dˆay l`a co. so’. cu’a l´
.
.
.
thuyˆe´t h`am sˆo´ du o. c Weierstrass du a ra, trong d´o Weierstrass d˜a lˆa´y chuˆ˜o i
`en ta’ng dˆe’ di.nh ngh˜ıa h`am gia’i t´ıch m`a ta s˜e tr`ınh b`ay trong
lu˜
y th`
u.a l`am nˆ
mu.c sau.

5.1.4

H`
am khˆ
ong cho ph´
ep th´
ac triˆ
e’n gia’i t´ıch

`an l´o.n c´ac chuˆ˜o i lu˜
`eu cho ph´ep th´ac triˆe’n gia’i
Tuy phˆ
y th`
u.a thˆong thu.`o.ng dˆ
`au tiˆen nh`o. c´ac chuˆo˜ i Taylor,
t´ıch ra kho’i gi´o.i ha.n cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. dˆ
y th`
u.a ph´ep th´ac triˆe’n gia’i
nhu.ng khˆong nˆen ngh˜ı r˘`ang dˆo´i v´o.i mo.i chuˆ˜o i lu˜
`eu luˆon luˆon thu..c hiˆe.n du.o..c. Weierstrass, ngu.`o.i dˆ
`au tiˆen du.a ra di.nh
t´ıch dˆ
`on ta.i nh˜
`an
u.ng phˆ
u.ng to’ b˘a`ng v´ı du. r˘a`ng tˆ
ngh˜ıa th´ac triˆe’n gia’i t´ıch, d˜a ch´
`eu l`
tu’. ch´ınh t˘´ac m`a mo.i diˆe’m biˆen cu’a h`ınh tr`
on hˆ
o.i tu. dˆ
a diˆe’m bˆ
a´t thu.`
o.ng,
o.ng bˆ
a´t thu.`
o.ng.
ngh˜ıa l`a biˆen cu’a h`ınh tr`on hˆo.i tu. l`a mˆo.t du.`
Ta x´et chuˆo˜ i
f (z) = 1 + z + z 2 + z 6 + · · · + z n! + . . .

(5.3)

5.1. Phu.o.ng ph´ap th´ac triˆe’n cu’a Weierstrass

379

˜e d`ang thˆa´y r˘`ang b´an k´ınh hˆo.i tu. cu’a chuˆ˜o i (5.3) l`a b˘`ang 1. Do d´o trˆen

du.`o.ng tr`on do.n vi. c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z).
`an dˆe´n diˆe’m z = 1 t`
Nˆe´u dˆ
u. ph´ıa trong th`ı mˆo˜ i sˆo´ ha.ng cu’a chuˆ˜o i (5.3)
`eu dˆ
`an dˆe´n 1, c`on tˆo’ng cu’a n´o th`ı dˆ
`an dˆe´n ∞. T`
u. d´o suy r˘`ang z = 1 l`a

diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a (z).
`eu tˆ
`on ta.i nh˜
u.ng diˆe’m
Trˆen mˆ˜o i cung b´e t`
uy y
´ cu’a du.`o.ng tr`on {|z| = 1} dˆ
u.u ty’ n`ao d´o. Ta d˘a.t
c´o acgumen b˘`ang 2π nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ h˜
m

z = re2πi n ,

r<1

m, n ∈ Z. Khi d´o
z n! = rn! e2πim(n−1)! = rn!
z (n+1)! = (z n! )n+1 = (rn! )n+1 = r(n+1)! , . . .
T`
u. d´o c´o thˆe’ viˆe´t chuˆo˜ i (5.3) du.´o.i da.ng
f (z) = (1 + z + z 2 + · · · + z (n−1)! ) + rn! + r(n+1)! + . . .
Khi r → 1, biˆe’u th´
u.c trong dˆa´u ngo˘a.c
1 + z + · · · + z (n−1)!
`an dˆe´n ∞. Diˆ
`an dˆe´n mˆo.t gi´o.i ha.n n`ao d´o, c`on phˆ
`an du. dˆ
`eu d´o ch´

u.ng to’
m
`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z). V`ı tˆa.p
r˘a`ng c´ac diˆe’m da.ng z = e2πi n dˆ
m
ho..p c´ac diˆe’m z = e2πi n , m, n ∈ Z lˆa.p nˆen tˆa.p ho..p tr`
u mˆa.t kh˘´ap no.i trˆen
du.`o.ng tr`on {|z| = 1} v`a v`ı tˆa.p ho..p c´ac diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng l`a d´ong nˆen mo.i
`eu l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng cu’a h`am f (z).
diˆe’m thuˆo.c du.`o.ng tr`on do.n vi. dˆ
Trong tru.`o.ng ho..p n`ay h`am f (z) ho`an to`an khˆong thˆe’ th´ac triˆe’n dˆe´n diˆe’m
z n˘a`m ngo`ai du.`o.ng tr`on {|z| = 1} v`a mˆo.t h`am nhu. vˆa.y du.o..c go.i l`a h`am
khˆong th´ac triˆe’n du.o..c, c`on du.`o.ng tr`on {|z| = 1} du.o..c go.i l`a biˆen tu.. nhiˆen
cu’a h`am.

Chu.o.ng 5. H`am d a tri. v`a diˆe.n Riemann

380

5.2

ap kh´
ac

ac phu.o.ng ph´

`on ta.i th`ı th´ac triˆe’n d´o c´o thˆe’ xˆay
Nˆe´u th´ac triˆe’n gia’i t´ıch cu’a mˆo.t h`am tˆ
`en tr`on nhu. d˜a mˆo ta’ trong mu.c tru.´o.c. Nhu.ng
du..ng bo’.i mˆo.t x´ıch c´ac miˆ
kh´ai niˆe.m n`ay c`on chu.a ho`an to`an tiˆe.n lo..i dˆe’ thu du.o..c mˆo.t biˆe’u tu.o..ng r˜o
`e d˘a.c t´ınh da tri. xuˆa´t hiˆe.n trong th´ac triˆe’n gia’i t´ıch. Kh´ai niˆe.m c´o
r`ang vˆ
hiˆe.u lu..c nhˆa´t dˆe’ da.t du.o..c mu.c d´ıch d´o l`a kh´ai niˆe.m th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo
tuyˆe´n.

5.2.1

Th´
ac triˆ
e’n gia’i t´ıch theo tuyˆ
e´n

`eu
Khˆong ha.n chˆe´ tˆo’ng qu´at, ta c´o thˆe’ gia’ thiˆe´t r˘a`ng mo.i tuyˆe´n dang x´et dˆ
du.o..c tham sˆo´ h´oa trˆen doa.n I = [0, 1].
Th´ac triˆe’n gia’i t´ıch theo tuyˆe´n du.o..c di.nh ngh˜ıa nhu. sau.
- i.nh ngh˜ıa 5.2.1. Gia’ su’. cho tuyˆe´n
D
γ :I →C
`au a = γ(0) v`a diˆe’m cuˆo´i b = γ(1), v`a phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac
v´o.i diˆe’m dˆ
an (z − γ(0))n

f∗ (z) = fγ(0)(z) =
n 0

`au cu’a tuyˆe´n γ. Ta n´oi r˘`ang phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac
v´o.i tˆam γ(0) = a ta.i diˆe’m dˆ
ac triˆe’n gia’i t´ıch du.o..c theo tuyˆe´n nˆe´u
f0 th´
`on ta.i ho. c´ac phˆ
`an tu’. ch´ınh t˘´ac
1. tˆ
an (z − γ(t))n ,

ft (γ) = fγ(t) (z) =

t∈I

n 0

v´o.i tˆam ta.i diˆe’m at = γ(t) v`a b´an k´ınh hˆo.i tu. Rt = R(γ(t)) = 0 (ngh˜ıa l`a
`eu tu.o.ng u
`an tu’. ch´ınh t˘´ac ft );
´.ng v´o.i phˆ
mˆo˜ i gi´a tri. t ∈ I dˆ
2. nˆe´u u(t0) ⊂ [0, 1] l`a lˆan cˆa.n liˆen thˆong cu’a diˆe’m t0 ∈ I m`a
γ(t) ⊂ S[γ(t0)] = {|z − γ(t0)| < Rt0 },

∀ t ∈ u(t0)

`an tu’. ch´ınh t˘´ac ft l`a th´ac trie’n gia’i t´ıch tru..c tiˆe´p
y, phˆ
th`ı v´o.i t ∈ u(t0) bˆa´t k`
cu’a ft0 .