Tải bản đầy đủ
Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình

Chương 4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy

279

4.3.1

˜ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Chuˆ
o

4.3.2

- iˆe’m bˆ
o.ng cˆ
o lˆ
a.p do.n tri. . . . . . . . . . . . 337
D
a´t thu.`

4.3.3


ang diˆe.u cu’a h`
am ta.i diˆe’m vˆ
o c`
ung . . . . . . . . 348

Phˆ
an loa.i h`
am chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . 350
a.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . 354
e´n cu’a tˆ
T´ınh bˆ
a´t biˆ

4.3.4
4.4

4.4.1

Nguyˆen l´
y acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

4.4.2

- .inh l´
D
y Rouch´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
a.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . 363
T´ınh bˆ
a´t biˆe´n cu’a tˆ

4.4.3
4.5

B`
ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

y thuyˆe´t h`am
Trong chu.o.ng tru.´o.c, ta d˜a ch´
u.ng minh di.nh l´
y co. ba’n cu’a l´
chı’nh h`ınh - di.nh l´
y Cauchy. Di.nh l´
y n`ay k´eo theo mˆo.t loa.t hˆe. qua’ quan
u.a c´ac gi´a
tro.ng. D˘a.c biˆe.t l`a n´o cho ph´ep ta x´ac lˆa.p mˆo´i liˆen hˆe. nhˆa´t di.nh gi˜
`en chı’nh h`ınh v´o.i c´ac gi´a
tri. cu’a h`am chı’nh h`ınh ta.i c´ac diˆe’m trong cu’a miˆ
u.c t´ıch phˆan
tri. biˆen cu’a h`am d´o. Mˆo´i liˆen hˆe. d´o du.o..c mˆo ta’ trong cˆong th´
co. ba’n th´
u.c trung tˆam cu’a l´
u. hai cu’a Cauchy. D´o l`a cˆong th´
y thuyˆe´t h`am
chı’nh h`ınh.

4.1


ac kˆ
e´t qua’ quan tro.ng nhˆ
a´t r´
ut ra t`
u.
t´ıch phˆ
an Cauchy

.
`eu l`a hˆe. qua’ cu’a cˆong
u.c dˆo. nhˆa´t di.nh, mo.i di.nh l´
O’ mˆo.t m´
y cu’a mu.c n`ay dˆ
.
th´
u c t´ıch phˆan Cauchy.

4.1.1

- i.nh l´
D
y gi´
a tri. trung b`ınh

D´o l`a di.nh l´
y sau dˆay.
- i.nh l´
D
y 4.1.1. Gia’ su’. f (z) l`
ong S(R) =
a h`
am liˆen tu.c trong h`ınh tr`
on d´
R} v`
a chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`
on S(R). Khi d´
o ta c´
o
{z ∈ C : |z − z0|

Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh

280

a’ng th´
u.c



1
f (z0) =


f (z0 + reit )dt,
0

`
a gi´
a tri. cu’a h`
am ta.i tˆ
am h`ınh tr`
on b˘
ang trung b`ınh cˆ
o.ng c´
ac gi´
a tri. cu’a

u.c l`
.
.

o trˆen du `
o ng tr`
on.
Ch´
u.ng minh. Theo cˆong th´
u.c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o
f (z0) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
∂S(R)

u.c
Thu..c hiˆe.n ph´ep biˆe´n dˆo’i theo cˆong th´
ζ = z0 + Reit ,

0

t



ta thu du.o..c


1
f (z0) =
2πi

Reitidt
1
f (z0 + Re )
=
it
Re


0

4.1.2



it

f (z0 + Reit )dt.
0

- i.nh l´
D
y Liouville

- i.nh l´
D
y 4.1.2. (Liouville 1) Nˆe´u h`
am chı’nh h`ınh trˆen to`
an m˘
a.t ph˘
a’ng ph´
u.c
`ng sˆ
`ong nhˆ
f (z) c´
o mˆ
odun bi. ch˘
a.n th`ı n´
o dˆ
a´t h˘
a
o´, t´
u.c l`
a f (z) ≡ const ∀z ∈ C.
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. |f (z)|
M < ∞ ∀z ∈ C. Ta s˜e ´ap du.ng cˆong th´
u.c
t´ıch phˆan Cauchy cho da.o h`am f (z) v`a h`ınh tr`on S(R) v´o.i tˆam ta.i diˆe’m z
v`a b´an k´ınh R. Ta c´o
f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
(ζ − z)2
∂S(R)

1

I. Liouville (1809-1882) l`
a nh`
a to´
an ho.c Ph´
ap

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy

281

T`
u. d´o
|f (z)|

1 M
M
·
2πR =
2
2π R
R

`an dˆe´n 0 khi
u.c n`ay khˆong phu. thuˆo.c R, c`on vˆe´ pha’i dˆ
Vˆe´ tr´ai cu’a bˆa´t d˘a’ng th´
R t˘ang vˆo ha.n. T`
u. d´o suy r˘a`ng |f (z)| = 0 v`a f (z) = 0 ∀ C. Do d´o f (z) ≡
const trong C.
Nhu. vˆa.y l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh trong to`an m˘a.t ph˘a’ng v`a bi. ch˘a.n chı’
`om c´ac h`am tˆ
`am thu.`o.ng (c´ac h˘`ang sˆo´).

y Liouville v`
u.a ch´
u.ng minh c´o thˆe’ kh´ai qu´at du.´o.i da.ng
Di.nh l´
- i.nh l´
D
y 4.1.3. Nˆe´u h`
am f (z) chı’nh h`ınh trong to`
an m˘
a.t ph˘
a’ng v`
a tho’a
n
.
.
`eu kiˆe.n |f (z) M|z| , M < ∞ v`
a n l`
a sˆ
o´ nguyˆen du o ng th`ı d´
o l`
a da

an diˆ
2
.
.
a.c khˆ
ong cao ho n n.
th´
u c bˆ
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. z0 l`a diˆe’m t`
uy y
´ cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´
u.c. T`
u. cˆong th´
u.c
t´ıch phˆan Cauchy dˆo´i v´o.i da.o h`am cˆa´p cao ta c´o
f (n+1) (z0) =

(n + 1)!
2πi

f (z)
dz,
(z − z0)n+2

S(R) = {z : |z − z0 | < R}

∂S(R)

v`a do d´o
|f (n+1) (z0)|

M|z|n
(n + 1)!.
Rn+1

V`ı |z| |z0| + R nˆen qua gi´o.i ha.n khi R → ∞ ta thu du.o..c f (n+1) (z0) = 0.
uy y
´ cu’a C nˆen f (n+1) (z) ≡ 0. T`
u. d´o suy r˘`ang f (n) (z) ≡ const
Do z0 l`a diˆe’m t`
v`ı
z

f (n) (z) − f (n) (z0) =

f (n+1) (z)dz ≡ 0,
z0

˜e d`ang

u.c l`a f (n) (z) ≡ f (n) (z0 ) = const . . . B˘`ang c´ach lˆa.p luˆa.n nhu. vˆa.y, dˆ
`eu kh˘a’ng di.nh cu’a di.nh l´
y.
thu du.o..c diˆ
2

Khi n = 0 th`ı ta thu du.o..c di.nh l´
y 12.1

Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh

282

Di.nh l´
y Liouville c`on c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng
- i.nh l´
D
y 4.1.2∗. Nˆe´u h`
am f (z) chı’nh h`ınh trˆen to`
an m˘
a.t ph˘
a’ng mo’. rˆ
o.ng C
`ng sˆ
`ong nhˆ
a´t h˘
a
o´.
th`ı n´
o dˆ
`on ta.i v`a h˜
Ch´
u.ng minh. V`ı h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ nˆen lim f (z) tˆ
u.u
z→∞
ha.n. T`
u. d´o suy ra f (z) bi. ch˘a.n trong lˆan cˆa.n n`ao d´o U (∞) = {z : |z| > R}
cu’a diˆe’m ∞. Gia’ su’. f (z)| M1 , ∀ z ∈ U (∞). M˘a.t kh´ac, do h`am f chı’nh
h`ınh (v`a do d´o n´o liˆen tu.c) trong h`ınh tr`on d´ong S(R) = {z : |z| R} nˆen
n´o bi. ch˘a.n trong h`ınh tr`on d´o. Gia’ su’. |f (z)| M2 , z ∈ S(R). Nhu.ng khi d´o
h`am f bi. ch˘a.n trong to`an m˘a.t ph˘a’ng: f (z)| < M = max(M1 , M2) ∀ z ∈ C.
y 4.1.2 ta c´o f ≡ const.
V`ı h`am f chı’nh h`ınh trˆen C nˆen theo di.nh l´
Bˆay gi`o. ta ´ap du.ng di.nh l´
y Liouville dˆe’ ch´
u.ng minh di.nh l´
y Gauss - di.nh

y co. ba’n cu’a da.i sˆo´.
- i.nh l´
`eu
u.c da.i sˆ
o´ bˆ
a.c m 1 v´
o.i hˆe. sˆ
o´ ph´
u.c dˆ
D
y 4.1.4. (Gauss) Mo.i da th´
˜ i nghiˆe.m du.o..c t´ınh mˆ
`ng bˆ
`an b˘
o.t sˆ
o´ lˆ
a
o.i cu’a n´
o.

o m nghiˆe.m nˆe´u mˆ
o
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’.
Pm (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1z + a0,

am = 0, m

1.

u.ng: gia’ su’. Pm (z) khˆong c´o nghiˆe.m trong
Ta ch´
u.ng minh b˘`ang pha’n ch´
C. Ta x´et h`am
f (z) =

1
·
Pm (z)

H`am f (z) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay
(i) H`am f (z) ∈ H(C) v`ı Pm (z) = 0 ∀ z ∈ C.
u.c l`a |f (z)| M ∀ z ∈ C. Thˆa.t vˆa.y,
(ii) H`am f (z) c´o mˆodun bi. ch˘a.n, t´
1
v`ı lim Pm (z) = ∞ nˆen lim
= 0. T`
u. d´o ∃ R > 0 sao cho ∀ z : |z| > R
z→∞
z→∞ Pm (z)
ta c´o
|f (z)| < 1.

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy

283

Trong h`ınh tr`on d´ong |z| R h`am f (z) c´o mˆodun bi. ch˘a.n, t´
u.c l`a |f (z)| m
∀ z ∈ {|z| R}. T`
u. d´o suy r˘a`ng |f (z)| < m + 1 = M, ∀ z ∈ C. Nhu. vˆa.y
`eu kiˆe.n cu’a
h`am f (z) ∈ H(C) v`a |f (z) M ∀ z ∈ C, t´
u.c l`a tho’a m˜an c´ac diˆ
.
y Liouville. Do d´o f (z) ≡ const trˆen C. T`
u d´o suy r˘a`ng Pm (z≡ const.
di.nh l´
`eu d´o khˆong thˆe’ xa’y ra v`ı am = 0 v`a m 1.
Nhu.ng diˆ
`on ta.i gi´a tri. α1 ∈ C sao cho
Nhu. vˆa.y tˆ
P (α1 ) = 0.
ung l`a da
Do d´o Pm (z) = (z − α1 )Pm−1 (z), Pm−1 (α1 ) = 0. Nhu.ng Pm−1 (z) c˜
th´
u.c da.i sˆo´ bˆa.c m − 1 nˆen ∃ α2 ∈ C sao cho Pm−1 (z) = (z − α2)Pm−2 (z),
Pm−2 (α2 ) = 0. Nhu. vˆa.y
Pm (z) = (z − α1 )(z − α2 )Pm−2 (z), . . .
u.c
Tiˆe´p tu.c lˆa.p luˆa.n nhu. vˆa.y ta thu du.o..c d˘a’ng th´
Pm (z) = am(z − α1 )(z − α2) · · · (z − αm ).
u.ng to’ r˘a`ng α1 , α2 , . . . , αm l`a nghiˆe.m v`a ngo`ai ch´
u.c n`ay ch´
ung ra da
D˘a’ng th´
.
th´
u c Pm (z) khˆong c`on nghiˆe.m n`ao kh´ac. Thˆa.t vˆa.y nˆe´u β l`a nghiˆe.m β = αi
∀ i = 1, m cu’a da th´
u.c Pm (z) th`ı
Pm (β) = am (β − α1 )(β − α2 ) · · · (β − αm ) = 0.
`eu n`ay ch´
u.ng to’ r˘a`ng mˆo.t trong c´ac th`
u.a sˆo´ pha’i b˘a`ng 0, t´
u.c l`a
Diˆ
β − αi = 0,
⇐⇒

β = αi ,

i = 1, 2, . . . , m
i = 1, 2, . . . , m.

`e tru.`
u.ng minh c`on c´o tˆen go.i l`a di.nh l´y vˆ
o.ng d´
Di.nh l´
y v`
u.a ch´
ong da.i sˆ
o´.

Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh

284

4.1.3

- i.nh l´
˜
`e chuˆ
`eu
D
y Weierstrass vˆ
o i h`
am hˆ
o.i tu. dˆ

`eu trong miˆ
`en D v`a
Trong 1.4 ta d˜a tr`ınh b`ay kh´ai niˆe.m chuˆ˜o i h`am hˆ
o.i tu. dˆ
´
`en D c`
`eu trˆen t`
ac cu’a miˆ
ung mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t h`am cu’a

o.i tu. dˆ
u.ng comp˘
`eu. Bˆay gi`o. ta ch´
chuˆ˜o i hˆo.i tu. dˆ
y quan tro.ng cu’a Weierstrass
u.ng minh di.nh l´
`e su.. ba’o to`an t´ınh chı’nh h`ınh cu’a tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i trong ph´ep qua gi´o.i ha.n

`eu v`a ph´ep da.o h`am t`
`eu.
u.ng sˆo´ ha.ng cu’a chuˆ˜o i h`am chı’nh h`ınh hˆo.i tu. dˆ

- i.nh l´
D
y 4.1.5. (Weierstrass) Gia’ su’.:
`en D;
a nh˜
u.ng h`
am chı’nh h`ınh trong miˆ
1) un (z) n ∈ N l`
˜ i h`
2) chuˆ
o
am
u1(z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . .

(4.1)

´c cu’a miˆ
`en D dˆe´n h`
`eu trˆen t`
a
u.ng comp˘
am (h˜
u.u ha.n) f (z).

o.i tu. dˆ
Khi d´
o
˜
`en D.
1) Tˆ
o’ng f (z) cu’a chuˆ
o i l`
a h`
am chı’nh h`ınh trong miˆ
˜ i c´
2) Chuˆ
o
o thˆe’ da.o h`
am t`
u.ng sˆ
a´p t`
uy ´y
o´ ha.ng dˆe´n cˆ
(m)

(m)

(m)
(z);
u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m)
n (z) + · · · = f

m = 1, 2, . . .

(4.2)

˜ i hˆ
˜ i (4.2) dˆ
´c cu’a miˆ
`eu l`
`eu trˆen t`
`en
a chuˆ
o
o.i tu. dˆ
u.ng comp˘
a
3) Mo.i chuˆ
o
D.
Ch´
u.ng minh. 1) Lˆa´y h`ınh tr`on S(R) bˆa´t k`
y b´an k´ınh R v´o.i biˆen γ(R) sao
cho S(R) ⊂ D. Trˆen du.`o.ng tr`on γ(R) (γ(R) l`a tˆa.p ho..p d´ong n˘`am trong D)
`eu dˆe´n h`am f (z). Do d´o h`am
chuˆ˜o i (4.1) hˆo.i tu. dˆ
f (ζ) = u1 (ζ) + u2(ζ) + · · · + un (ζ) + . . . ;

ζ ∈ γ(R)

liˆen tu.c trˆen γ(R). Nhˆan (4.3) v´o.i h`am
v(ζ) =

1
1
,
2πi ζ − z

ζ ∈ γ(R), z ∈ S(R).

(4.3)

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy

285

H`am n`ay bi. ch˘a.n trˆen γ(R). Do d´o chuˆ˜o i thu du.o..c sau khi nhˆan (4.3) v´o.i
`eu trˆen γ(R) v`a c´o thˆe’ t´ıch phˆan t`
v(ζ) vˆ˜a n hˆo.i tu. dˆ
u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R).
Ta thu du.o..c
1
2πi

1
f (ζ)
dζ =
ζ −z
2πi
γ(R)

1
u1 (ζ
dζ + · · · +
ζ −z
2πi
γ(R)

un (ζ)
dζ + . . .
ζ −z
γ(R)

T´ıch phˆan o’. vˆe´ tr´ai l`a t´ıch phˆan da.ng Cauchy. Do d´o vˆe´ tr´ai l`a h`am chı’nh
´ du.ng cˆong th´
u.c
h`ınh trong h`ınh tr`on S(R). Ta k´
y hiˆe.u h`am d´o l`a fR(z). Ap
u. biˆe’u th´
u.c trˆen ta thu du.o..c
t´ıch phˆan Cauchy cho c´ac h`am un (ζ) t`
fR (z) = u1(z) + u2(z) + · · · + un (z) + . . .

(4.4)

`eu dˆe´n h`am fR(z) chı’nh h`ınh trong h`ınh
Nhu. vˆa.y chuˆ˜o i du.o..c x´et hˆo.i tu. dˆ
ung v´o.i f (z). Ngh˜ıa l`a f (z) l`a
tr`on S(R). Nhu.ng trong S(R) h`am fR(z) tr`
`en D dˆ
`eu thuˆo.c mˆo.t h`ınh
h`am chı’nh h`ınh trong S(R). V`ı mˆo˜ i diˆe’m z cu’a miˆ
tr`on S(R), S(R) ⊂ D n`ao d´o nˆen h`am f (z) chı’nh h`ınh trong D.
`en D khˆong ch´
C´ac lˆa.p luˆa.n trˆen dˆay chı’ d´
ung nˆe´u miˆ
u.a diˆe’m ∞. Gia’
`en D
su’. miˆ
∞. Ta s˜e x´et “h`ınh tr`on” SR (∞) = {z : |z| > R} v´o.i
`eu n˘`am trong du.`o.ng tr`on
b´an k´ınh R du’ l´o.n sao cho to`an bˆo. biˆen ∂D dˆ
γR (∞) = {z : |z| = R}. Lˆa.p luˆa.n nhu. trˆen v`a thay cho chuˆ˜o i (4.4) theo di.nh
u.c

y 3.2.13 ta thu du.o..c d˘a’ng th´
fR (z) = [u1 (z) − u1 (∞)] + [u2(z) − u2(∞)] + . . .
+ [un (z) − un (∞)] + . . .
hay l`a
fR (z) = [u1(z) + · · · + un (z) + . . . ]
− [u1(∞) + u2(∞) + · · · + un (∞) + . . . ].
Chuˆ˜o i trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong th´
u. hai o’. vˆe´ pha’i hˆo.i tu. dˆe´n f (∞) v`a do d´o
fR (z) + f (∞) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . .

Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh

286

.
O’ dˆay fR (z) + f (∞) = f (z) ∀ z ∈ SR (∞) v`a h`am fR (z) + f (∞) chı’nh h`ınh
trong SR (∞). Do vˆa.y h`am f chı’nh h`ınh trong lˆan cˆa.n diˆe’m ∞.
2) Nˆe´u nhˆan chuˆ˜o i (4.3) v´o.i h`am
vm (ζ) =

m!
1
,
2πi (ζ − z)m+1

z ∈ S(R)

bi. ch˘a.n trˆen γ(R) v`a t´ıch phˆan t`
u.ng sˆo´ ha.ng theo γ(R) th`ı thay cho (4.4) ta
thu du.o..c chuˆo˜ i
(m)

(m)

(m)

fR (z) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m)
n (z) + . . .
V`ı fR (z) = f (z) ∀ z ∈ D nˆen t`
u. d´o thu du.o..c (4.2).
`an th´
3) Dˆe’ ch´
u.ng minh phˆ
y ta phu’ tˆa.p ho..p d´ong t`
uy y
´
u. ba cu’a di.nh l´
.
.
E ⊂ D bo’ i hˆe. c´ac h`ınh tr`on S sao cho S ⊂ D. Nˆe´u tˆa.p ho. p E z = ∞ th`ı
ta c´o thˆe’ lˆa´y h`ınh tr`on l`a tˆa.p ho..p S (∞) = {z : |z| > R > 0}, S (∞) ⊂ D.
`om mˆo.t sˆo´ h˜
u.u ha.n
T`
u. hˆe. c´ac h`ınh tr`on n`ay ta c´o thˆe’ cho.n mˆo.t phu’ con gˆ
y hiˆe.u l`a E ∗ . Gia’ su’. δ l`a
c´ac h`ınh tr`on. Ho..p mo.i h`ınh tr`on d´ong n`ay du.o..c k´
`en D: δ = dist{E ∗ , ∂D}.
khoa’ng c´ach t`
u. E ∗ dˆe´n biˆen miˆ
`ong tˆam
u.n ha.n ta du..ng h`ınh tr`on S dˆ
Dˆo´i v´o.i mˆo˜ i h`ınh tr`on S cu’a phu’ h˜
δ
v´o.i b´an k´ınh l´o.n ho.n b´an k´ınh cu’a S mˆo.t da.i lu.o..ng b˘a`ng (dˆo´i v´o.i S (∞)
2
δ
`an lˆa´y b´an k´ınh b´e ho.n ). Chu tuyˆe´n L cu’a c´ac h`ınh tr`on n`ay lˆa.p
th`ı cˆ
2
`eu trˆen
un (z) hˆo.i tu. dˆ
th`anh tˆa.p ho..p d´ong Γ ⊂ D. Do d´o chuˆ˜o i du.o..c x´et
n≥1

Γ, ngh˜ıa l`a
∀ ε > 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒
n+p

uk (ζ) < ε.
k=n+1

uy y
´ cu’a E v`a gia’ su’. n´o thuˆo.c h`ınh tr`on S cu’a phu’
Gia’ su’. z l`a diˆe’m t`

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy
δ
. Do d´o
2


u.u ha.n. Khi ζ ∈ L v`a z ∈ S th`ı |ζ − z|
n+p

n+p
(m)
uk (z)

m!
2πi

=

k=n+1

k=n+1

287

uk (ζ)

(ζ − z)m+1

L
n+p

uk (ζ)

m!


k=n+1

|ζ − z|m+1

ds

L

m!
·


ε
δ
2

m+1

2πR∗

trong d´o R∗ l`a b´an k´ınh cu’a h`ınh tr`on S tu.o.ng u
´.ng. Nhu. vˆa.y dˆo´i v´o.i mˆo˜ i
diˆe’m z ∈ E ta c´o
n+p

Rm!ε
δ m+1
2

(m)

uk (z)
k=n+1

trong d´o R l`a b´an k´ınh l´o.n nhˆa´t trong c´ac b´an k´ınh cu’a c´ac h`ınh tr`on S
`eu cu’a chuˆ˜o i da.o h`am trˆen t`
u.ng
u. d´o suy ra su.. hˆo.i tu. dˆ
cu’a phu’ h˜
u.u ha.n. T`
comp˘´ac cu’a D.
Nhˆ
a.n x´et 4.1.1. Trong gia’i t´ıch thu..c khˆong c´o di.nh l´
y tu.o.ng tu.. nhu. di.nh l´
y
.
Weierstrass. Thˆa.t vˆa.y, trong gia’i t´ıch thu. c ta biˆe´t r˘`ang tˆo’ng S(x) cu’a chuˆ˜o i
`eu trˆen khoa’ng n`ao d´o c´o thˆe’
un (x) hˆo.i tu. dˆ
h`am thu..c (biˆe´n thu..c) kha’ vi
n≥1

l`a h`am khˆong kha’ vi. Ho.n thˆe´ n˜
u.a nˆe´u ∃ S (x) th`ı ho`an to`an khˆong nhˆa´t
u.c S (x) =
un (x).
thiˆe´t pha’i c´o d˘a’ng th´
n 1

Nhˆ
a.n x´et 4.1.2. Nˆe´u c´o d˜ay h`am fn (z)

n 1

`en D th`ı chuˆo˜ i
cho trong miˆ

f1 (z) + [f2(z) − h(z)] + · · · + [fn (z) − fn−1 (z)] + . . .
`eu kh˘a’ng di.nh vˆ
`e chuˆ˜o i
u. d´o mo.i diˆ
c´o tˆo’ng riˆeng th´
u. n l`a Sn (x) = fn (x). T`
.
.
.
.
`eu c´o thˆe’ ph´at biˆe’u dˆo´i v´o i d˜ay v`a ngu o. c la.i. T`
y 4.1.3 ta r´
ut
u d´o v`a di.nh l´

ra

Chu.o.ng 4. C´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n cu’a h`am chı’nh h`ınh

288

- i.nh l´
`e d˜ay h`am chı’nh h`ınh hˆo.i tu. dˆ
`eu)
D
y 4.1.6. (Weierstrass; vˆ
`en D hˆ
`eu trˆen
o.i tu. dˆ
Nˆe´u d˜
ay c´
ac h`
am fn (z) n 1 chı’nh h`ınh trong miˆ
´c cu’a miˆ
`en D dˆe´n h`
am h˜
u.u ha.n f (z) th`ı f (z) l`
a
a h`
am chı’nh h`ınh
t`
u.ng comp˘
(m)
`eu trˆen t`
am fn (z) n 1 ; m = 1, 2, . . . hˆ
o.i tu. dˆ
u.ng
trong D v`
a d˜
ay c´
ac da.o h`
´c cu’a D dˆe´n h`
am f (m) (z).
comp˘
a
y Weierstrass 4.1.3 v`a di.nh l´
y Abel r´
ut ra
T`
u. di.nh l´
˜

e. qua’ 4.1.1. Tˆ
o’ng cu’a chuˆ
o i l˜
uy th`
u.a
an (z − a)n
n 0

l`
a h`
am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`
on hˆ
o.i tu. cu’a n´
o v`
a trong h`ınh tr`
on hˆ
o.i tu.
.
˜
`an t`
am t`
u ng sˆ
o´ ha.ng mˆ
o.t sˆ
o´ lˆ
uy ´y,
cu’a chuˆ
o i ta c´
o thˆe’ lˆ
a´y t´ıch phˆ
an v`
a da.o h`
.
.
`ong th`
o´ ha.ng khˆ
ong l`
am thay dˆ
o i ph´ep da.o h`
am v`
a t´ıch phˆ
an t`
u ng sˆ
o’i b´
an

˜
k´ınh hˆ
o.i tu. cu’a chuˆ
o i.

4.1.4

am chı’nh h`ınh.
T´ınh chˆ
a´t di.a phu.o.ng cu’a h`
˜ i Taylor
Chuˆ
o

Trong 2.1 ta d˜a ch´
u.ng minh r˘`ang tˆo’ng cu’a chuˆo˜ i l˜
uy th`
u.a l`a h`am chı’nh h`ınh
u.c t´ıch phˆan Cauchy ta
trong h`ınh tr`on hˆo.i tu. cu’a n´o. Bˆay gi`o. nh`o. cˆong th´
u.a cu’a h`am chı’nh h`ınh - d´o
c´o thˆe’ ch´
u.ng minh mˆo.t t´ınh chˆa´t quan tro.ng n˜
˜e n
`eu biˆe’u diˆ
l`a t´ınh chˆa´t di.a phu.o.ng: mˆ˜o i h`am chı’nh h`ınh trong h`ınh tr`on dˆ
y sau
uy th`
u.a. Cu. thˆe’ ta ch´
u.ng minh di.nh l´
du.o..c du.´o.i da.ng tˆo’ng cu’a chuˆ˜o i l˜
- i.nh l´
D
y 4.1.7. (Cauchy - Taylor 3 )
˜
`en D th`ı ta.i lˆ
Nˆe´u h`
am f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ
an cˆ
a.n cu’a mˆ
o i diˆe’m
˜e n du.o..c du.´
˜ i l˜
am f (z) biˆe’u diˆ
o.i da.ng chuˆ
o
uy th`
u.a
z0 ∈ D h`
an (z − z0 )n

f (z) =

(4.5)

n≥0


o.i b´
an k´ınh hˆ
o.i tu. R khˆ
ong b´e ho.n khoa’ng c´
ach d t`
u. diˆe’m z0 dˆe´n biˆen ∂D
`en D (d = dist(z0 , ∂D).
cu’a miˆ
3

B. Taylor (1685-1731) l`
a nh`
a to´
an ho.c Anh

4.1. C´ac kˆe´t qua’ quan tro.ng nhˆa´t r´
ut ra t`
u. t´ıch phˆan Cauchy

289

`en D. Ta k´
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. f ∈ H(D) v`a z0 l`a diˆe’m t`
uy y
´ cu’a miˆ
y
uy y
´ cu’a
hiˆe.u S(z0 , d) = {z ∈ D : |z − z0 | < d} v`a gia’ su’. z l`a diˆe’m t`
`ong tˆam v´o.i h`ınh tr`on S(z0, d)
S(z0, d) : z ∈ S(z0, d). X´et h`ınh tr`on S(z0, δ) dˆ
`eu kiˆe.n 0 < δ < d sao cho diˆe’m z n˘a`m trong D.
v´o.i b´an k´ınh δ tho’a m˜an diˆ
´ du.ng cˆong th´
Ap
u.c t´ıch phˆan Cauchy ta c´o
f (z) =

f (ζ)
1
dζ =
ζ −z
2πi

1
2πi
γ(δ)

f (ζ)dζ
z − z0 ,
(ζ − z0) 1 −
ζ − z0

γ(ρ)

(4.6)

trong d´o γ(δ) = ζ : |ζ − z0| = δ}.
u.c
Dˆo´i v´o.i diˆe’m z ∈ S(z0; δ) cˆo´ di.nh ta c´o bˆa´t d˘a’ng th´
z − z0
= q < 1,
ζ − z0

ζ ∈ γ(δ).

Do d´o biˆe’u th´
u.c
1
z − z0
1−
ζ − z0
c´o thˆe’ xem nhu. tˆo’ng cu’a cˆa´p sˆo´ nhˆan
1
z − z0 =
1−
ζ − z0

n 0

z − z0
ζ − z0

n

.

(4.7)

`eu trˆen γ(ρ) nˆen ta c´o thˆe’ thu..c hiˆe.n ph´ep t´ıch phˆan t`
u.ng
Chuˆ˜o i (4.7) hˆo.i tu. dˆ
sˆo´ ha.ng v`a t`
u. (4.6) v`a (4.7) ta thu du.o..c
f (z) =
n 0

1
2πi

f (ζ)dζ
(z − z0)n
(ζ − z0)n+1
γ(δ)

an (z − z0 )n ,

=

(4.8)

n≥0

trong d´o
an =

1
2πi

f (ζ)dζ
,
(ζ − z0)n+1
γ(δ)

n = 0, 1, . . .

(4.9)