Tải bản đầy đủ
Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình

Chương 3 Lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình

Tải bản đầy đủ

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c
3.2.7

189

˜e n t´ıch phˆ
Biˆe’u diˆ
an dˆ
o´i v´
o.i da.o h`
am cu’a h`
am
chı’nh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

- iˆ
`eu kiˆe.n du’ dˆe’ h`
D
am f chı’nh h`ınh . . . . . . . . . 250
`eu h`
3.2.9 H`
am diˆ
am chı’nh h`ınh . 250
oa v`
a mˆ
o´i liˆen hˆe. v´
o.i h`
3.2.10 T´ıch
phˆ
an
da.ng
Cauchy.

ong
th´
u.c
Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.2.8

˜e n t´ıch phˆ
`eu h`
3.2.11 Biˆe’u diˆ
an h`
am diˆ
oa . . . . . . . . . 270
3.3

B`
ai tˆ
a.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

`eu kiˆe.n
Bˆay gi`o. x´et su.. thu he.p l´o.p tˆo’ng qu´at c´ac h`am biˆe´n ph´
u.c b˘`ang diˆ
kha’ t´ıch. Su.. thu he.p d´o s˜e du.a ta t´o.i ch´ınh l´o.p c´ac h`am chı’nh h`ınh d˜a du.o..c
nghiˆen c´
u.u trong chu.o.ng II. To`an bˆo. chu.o.ng n`ay du.o..c d`anh cho viˆe.c tr`ınh
ung hai cˆong th´
u.c
y co. ba’n trong ph´ep t´ınh t´ıch phˆan cu’a Cauchy c`
b`ay di.nh l´
co. ba’n cu’a nh`a to´an ho.c nˆo’i tiˆe´ng d´o.

3.1
3.1.1

`en ph´
T´ıch phˆ
an trong miˆ
u.c
- i.nh ngh˜ıa t´ıch phˆ
D
an

Gia’ su’. cho tuyˆe´n tro.n γ = γ(t) : I → C, I = [a, b] ⊂ R v`a gia’ su’. cho ´anh xa.
liˆen tu.c
f : γ(I) → C.
khi d´o h`am f [γ(t)] l`a mˆo.t h`am liˆen tu.c trˆen I.
Ta c´o di.nh ngh˜ıa sau dˆay:
- .inh ngh˜ıa 3.1.1. T´ıch phˆan
D
b

J (f ) =

f [γ(t)]γ (t)dt
a

(3.1)

Chu.o.ng 3. L´
y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh

190

an cu’a h`
am f theo tuyˆe´n γ v`a du.o..c k´
y hiˆe.u l`a
du.o..c go.i l`a t´ıch phˆ
f (z)dz.
γ

Di.nh ngh˜ıa n`ay ph`
u ho..p v´o.i di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan du.`o.ng thˆong thu.`o.ng
(theo ngh˜ıa Cauchy - Riemann) cu’a h`am liˆen tu.c theo khoa’ng compac.
u.ng kh´
uc. Trong

ung c´o thˆe’ t´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng theo tuyˆe´n tro.n t`
.
.
.
tru `o ng ho. p n`ay s˜e cho.n ph´ep phˆan hoa.ch
a = t 0 < t1 < · · · < tn = b
sao cho ha.n chˆe´ γi cu’a tuyˆe´n γ trˆen doa.n [ti, ti+1 ] l`a tuyˆe´n tro.n v´o.i i bˆa´t k`
y,
0 ≤ i ≤ n − 1. V`a theo di.nh ngh˜ıa
f (z)dz =

f (z)dz.
i

γ

(3.2)

γi

C´o thˆe’ ch´
u.ng minh r˘a`ng gi´a tri. cu’a vˆe´ pha’i (3.2) khˆong phu. thuˆo.c v`ao
viˆe.c cho.n ph´ep phˆan hoa.ch v`a trong tru.`o.ng ho..p khi γ l`a tuyˆe´n tro.n th`ı di.nh
ung v´o.i di.nh ngh˜ıa 3.1.1.
ngh˜ıa n`ay cu’a t´ıch phˆan f (z)dz tr`
γ

Do d´o, di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan (3.2) l`a d´
ung d˘´an.
V´ı du. 1. Gia’ su’. γ l`a du.`o.ng tr`on
γ = z ∈ C : |z − a| = r
(do d´o γ(t) = a + eir , t ∈ [0, 2π] v`a f (z) = (z − a)n , n ∈ Z.
Theo di.nh ngh˜ıa 3.1.1 ta c´o:


(z − a)n dz = rn+1 i

J (f ) =
γ

Khi n = −1 th`ı J (f ) = 0.

ei(n+1)tdt.
0

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c

191

Khi n = −1 th`ı


dz
=i
z−a
γ

dt = 2πi.
0

Nhu. vˆa.y:
J (f ) =


0

khi n = −1,

2πi

(3.3)

khi n = −1.

Nhˆ
a.n x´et 3.1.1. B˘`ang c´ach d˘a.t f = u + iv v`a dz = dx + idy ta thu du.o..c:
f (z)dz =
γ

udx − vdy + i
γ

vdx + udy.

(3.4)

γ

˜e d`ang suy ra c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay
T`
u. di.nh ngh˜ıa v`a cˆong th´
u.c (3.4) dˆ
`en ph´
cu’a t´ıch phˆan trong miˆ
u.c.
I - T´ınh chˆ
a´t tuyˆe´n t´ınh. Nˆe´u fk (z), k = 1, 2, . . . , n l`a nh˜
u.ng h`am liˆen
tu.c du.o..c cho trˆen γ v`a ak (k = 1, 2, . . . , n) l`a nh˜
u.ng h˘a`ng sˆo´ cho tru.´o.c th`ı:
n

n

ak fk (z) dz =
γ

k=1

ak
k=1

fk (z)dz.
γ

II - T´ınh chˆ
a´t cˆ
o.ng t´ınh. Gia’ su’. cho hai tuyˆe´n tro.n
γ1 (t) : [a, c] → C,

γ2 (t) : [c, b] → C

sao cho
γ1 (c) = γ2 (c).
X´et tuyˆe´n tro.n t`
u.ng kh´
uc l`a ho..p cu’a hai tuyˆe´n γ1 , γ2

γ (t), t ∈ [a, c],
1
γ(t) =
γ2 (t), t ∈ [c, b].

Chu.o.ng 3. L´
y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh

192

T`
u. di.nh ngh˜ıa suy ra r˘`ang
f (z)dz =
γ1 ∪γ2

f (z)dz +
γ1

f (z)dz.
γ2

o´i v´
o.i ph´ep biˆe´n dˆ
o’i tham sˆ
o´. Ta nh˘a´c la.i o’. dˆay di.nh
III - T´ınh bˆ
a´t biˆe´n dˆ
ngh˜ıa ph´ep thay tham sˆo´. Gia’ su’. cho tuyˆe´n tro.n
γ : [a, b] → C
v`a t = t(u) kha’ vi liˆen tu.c khi u ∈ [a1, b1] (a1 < b1 ) v´o.i da.o h`am t (u) > 0
kh˘´ap no.i v`a
t(a1) = a,

t(b1) = b.

Khi d´o ho..p cu’a ´anh xa. u → t(u) v`a
γ : [a, b] → C
s˜e x´ac di.nh mˆo.t ´anh xa. γ1 : u → γ[t(u)].
´ xa. d´o cho ta mˆo.t tuyˆe´n tro.n v`a n´oi r˘a`ng γ1 thu du.o..c t`
u. γ b˘a`ng ph´ep
Anh
thay thˆe´ tham sˆo´.
- i.nh l´
D
y 3.1.1. T´ıch phˆ
an (3.1) l`
a mˆ
o.t bˆ
a´t biˆe´n dˆ
o´i v´
o.i ph´ep thay tham sˆ
o´.


oi c´
ach kh´
ac, nˆe´u γ ∼ γ th`ı
f (z)dz =

f (z)dz.
γ∗

γ

Ch´
u.ng minh. Theo di.nh ngh˜ıa ta c´o
b

f (z)dz =
γ

f [γ(t)]γ (t)dt.

(3.5)

a

u.c vi
Thu..c hiˆe.n ph´ep thay tham sˆo´ o’. vˆe´ pha’i cu’a (3.5) v`a theo cˆong th´
phˆan h`am ho..p, ta c´o
b1

f (z)dz =
γ

f [γ1 (u)]γ1(u)du =
a1

f (z)dz.
γ∗

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c

193

T`
u. di.nh l´
y 3.1.1 ta r´
ut ra kˆe´t luˆa.n quan tro.ng l`a: t´ıch phˆan d˜a du.o..c xˆay
du..ng dˆo´i v´o.i tuyˆe´n vˆ˜a n c´o ngh˜ıa ca’ dˆo´i v´o.i du.`o.ng cong l`a l´o.p c´ac tuyˆe´n
tu.o.ng du.o.ng.
ung ho.n: Dˆo´i v´o.i tuyˆe´n bˆa´t k`
y x´ac di.nh du.`o.ng cong tro.n n`ao d´o
N´oi d´
th`ı t´ıch phˆan cu’a h`am liˆen tu.c theo tuyˆe´n ˆa´y c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t gi´a tri..
o.ng. Dˆo´i v´o.i tuyˆe´n tro.n γ v`a tuyˆe´n ngu.o..c v´o.i n´o γ −
IV - T´ınh di.nh hu.´
(tuyˆe´n thu du.o..c t`
u. γ b˘a`ng ph´ep thay tham sˆo´ t → a+b−t, γ − (t) = γ[a+b−t])
ta c´o:
f (z)dz = −

f (z)dz.

γ−

γ

u.ng minh nhu. di.nh l´
y 3.1.1.
T´ınh chˆa´t n`ay du.o..c ch´

3.1.2

..
an
o c lu.o..ng t´ıch phˆ


- i.nh l´
D
y 3.1.2. Gia’ su’. γ l`
a mˆ
o.t tuyˆe´n tro.n
γ : [a, b] → C
´x γ[I] v`
v`
a gia’ su’. t → f [γ(t)] l`

anh xa. liˆen tu.c t`
u. tˆ
a.p ho..p comp˘
a
ao C. Khi
o

f (z)dz

sup |f (z)| · |γ|,
γ

γ

trong d´
o |γ| l`
a dˆ
o. d`
ai cu’a tuyˆe´n γ.
Ch´
u.ng minh. Gia’ su’.
f (z)dz = |J (f )|eiθ .

J (f ) =
γ

Chu.o.ng 3. L´
y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh

194
Ta c´o

b

e−iθ f (z)dz =

|J (f )| =
γ

e−iθ f [γ(t)]γ (t)dt
a

b

Re e−iθ f [γ(t)]γ (t) dt.

=
a

Do d´o
b

|J (f )|

|f (γ(t))||γ (t)|dt =
a

|f (z)||dz|
γ
b

sup |f (z)| ·

dx
dt

|dz| = sup |f (z)| ·

γ

γ
γ

2

+

dy
dt

2

1
2

dt

a

= sup |f (z)||γ|.
γ

`eu kiˆe.n

e. qua’ 3.1.1. Nˆe´u thˆem v`
ao c´
ac gia’ thiˆe´t cu’a di.nh l´y 3.1.2 diˆ
`
o M l`
a h˘
ang sˆ
o´ n`
ao d´
o th`ı
|f (z)| M, ∀ z ∈ γ, trong d´
f (z)dz

M · |γ|.

γ

3.1.3

`
ap qua gi´
o.i ha.n
T´ınh t´ıch phˆ
an b˘
ang phu.o.ng ph´

Gia’ su’. ∆ l`a ph´ep phˆan hoa.ch [a, b]
∆ : a = t0 < t1 < · · · < tn = b,
trong d´o d˘a.t
η = max |ti+1 − ti |.
i

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c

195

`an t´ınh hiˆe.u σn gi˜
Ta cˆ
u.a t´ıch phˆan (3.1) v´o.i tˆo’ng
n−1

f [γ(θi )] γ(ti+1 ) − γ(ti ) ,

θi ∈ [ti, ti+1 ].

i=0

V`ı
ti+1

dz = γ(ti+1) − γ(ti )
ti

nˆen biˆe’u th´
u.c trˆen c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng
b

f˜(t) · γ (t)dt,
a

trong d´o f˜(t) l`a h`am trˆen [a, b], b˘a`ng f [γ(θi )] trˆen khoa’ng (ti , ti+1 ). Nhu. vˆa.y
b

[f (γ(t) − f˜(t)]γ (t)dt .

|σn | =
a

Gia’ su’. ε > 0 l`a mˆo.t sˆo´ cho tru.´o.c. Cho.n η du’ nho’, sao cho v´o.i mo.i c˘a.p
`eu kiˆe.n |t − t | < η ta dˆ
`eu c´o:
t , t ∈ [a, b] tho’a m˜an diˆ
|f (γ(t )) − f (γ(t ))| <

ε
·
|γ|

`eu d´o c´o thˆe’ thu..c hiˆe.n du.o..c v`ı h`am f |γ(t)| liˆen tu.c trˆen [a, b] do d´o n´o
(Diˆ
`eu trˆen doa.n d´o).
liˆen tu.c dˆ
Khi d´o
|f (γ(t)) − f˜(t)|

ε
|γ|

v`a:
|σn |

ε
· |γ| = ε.
|γ|

Chu.o.ng 3. L´
y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh

196

u.a ch´
u.ng minh suy ra r˘a`ng t´ıch phˆan
T`
u. kˆe´t qua’ v`

f (z)dz l`a gi´o.i ha.n
γ

cu’a tˆo’ng t´ıch phˆan Riemann khi η → 0.
`eu v`
T`
u. diˆ
u.a ch´
y 3.1.1 suy r˘`ang t´ıch phˆan du.`o.ng theo
u.ng minh v`a di.nh l´
tuyˆe´n khˆong phu. thuˆo.c ph´ep tham sˆo´ h´oa tuyˆe´n d´o: hai ph´ep tham sˆo´ h´oa
`eu d˘a.c biˆe.t ho.n
tu.o.ng du.o.ng dˆo´i v´o.i tuyˆe´n chı’ cho mˆo.t gi´a tri. t´ıch phˆan. Diˆ

u.a l`a c´ac tˆo’ng Riemann c´o thˆe’ mˆo ta’ bo’.i c´ac thuˆa.t ng˜
u. h`ınh ho.c liˆen quan
`an t´ınh t´ıch phˆan. Ta d`
dˆe´n du.`o.ng cong m`a trˆen d´o cˆ
u.ng la.i dˆe’ tr`ınh b`ay
`eu d´o.
mˆo.t c´ach ng˘´an go.n diˆ
`au A v`a diˆe’m
Gia’ su’. L(A, B) ⊂ C l`a du.`o.ng cong c´o hu.´o.ng v´o.i diˆe’m dˆ
cuˆo´i B v`a gia’ su’. trˆen L(A, B) cho h`am f (z). Thu..c hiˆe.n ph´ep phˆan hoa.ch
chia du.`o.ng cong L(A, B) th`anh mˆo.t sˆo´ n t`
uy y
´ c´ac cung nho’ bo’.i c´ac diˆe’m
u.c l`a zj d´
u.ng
z0 = A, z1 , z2, . . . , zn−1 , zn = B n˘a`m liˆen tiˆe´p trˆen L(A, B) (t´
tru.´o.c zj+1 , j = 0, 1, . . . , n − 1). Trˆen mˆ˜o i cung nho’ Lj = zj zj+1 ta lˆa´y diˆe’m
uy y
´ v`a lˆa.p tˆo’ng t´ıch phˆan
ξj t`
n−1

Jn =

f (ξj )∆zj ,

∆zj = zj+1 − zj .

j=0

Gia’ su’. r = max (diam Lj ).
0 j n−1

`on ta.i gi´o.i ha.n lim Jn khi r → 0 khˆong phu. thuˆo.c v`ao c´ach phˆan
Nˆe´u tˆ
hoa.ch L(A, B) th`anh c´ac cung nho’ v`a khˆong phu. thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac
diˆe’m trung gian ξj th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o..c go.i l`a t´ıch phˆan du.`o.ng cu’a h`am f
theo du.`o.ng cong L(A, B):
r−1

lim

r→0

f (ξj )∆zj =
j=0

f (z)dz.
L(A,B)

Trong tru.`o.ng ho..p khi L(A, B) l`a du.`o.ng cong d´ong A ≡ B th`ı d˘a.t

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c

197

y hiˆe.u l`a
L(A, B) = L v`a t´ıch phˆan du.o..c k´
J=

f (z)dz hay

nˆe´u L c´o di.nh hu.´o.ng du.o.ng;

f (z)dz

nˆe´u L c´o di.nh hu.´o.ng ˆam.

L+

L

f (z)dz hay

J=

f (z)dz

L−

L

Tiˆe´p theo ta ch´
u.ng minh di.nh l´
y cho ph´ep ta du.a viˆe.c t´ınh t´ıch phˆan
`en ph´
`e t´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng trong miˆ
`en thu..c (xem (3.4))
trong miˆ
u.c vˆ
- i.nh l´
`e su.. tˆ
`on ta.i t´ıch phˆan du.`o.ng)
D
y 3.1.3. (Vˆ
o.ng cong c´
o hu.´
o.ng, do du.o..c v`
a h`
am f (z) liˆen tu.c trˆen L
Nˆe´u L l`
a du.`
`on ta.i. Thˆem v`
th`ı t´ıch phˆ
an f (z)dz tˆ
ao d´
o, nˆe´u z = x + iy, f (z) =
L

u(x, y) + iv(x, y) th`ı
f (z)dz =
L

u(x, y)dx − v(x, y)dy + i
L

v(x, y)dx + u(x, y)dy.

(3.6)

L

Ch´
u.ng minh. Gia’ su’. zj = xj + iyj , ξj = ζj + iηj , uj = u(ζj , ηj ); vj = v(ζj , ηj ),
∆zj = ∆xj + i∆yj . Ta biˆe´n dˆo’i tˆo’ng t´ıch phˆan cu’a t´ıch phˆan

f (z)dz:
L

n−1

n−1

f (ξj )∆zj =
j=0

(uj + ivj )(∆xj + i∆yj )
j=0
n−1

=

n−1

(uj ∆xj − vj ∆yj ) + i
j=0

(vj ∆xj + uj ∆yj ).

(3.7)

j=0

Nˆe´u f liˆen tu.c trˆen L th`ı u v`a v liˆen tu.c trˆen L v`a do d´o c´ac t´ıch phˆan o’. vˆe´
`on ta.i. Vˆe´ pha’i cu’a (3.7) gˆ
`om c´ac tˆo’ng t´ıch phˆan dˆo´i v´o.i c´ac t´ıch
pha’i (3.6) tˆ
phˆan du.`o.ng o’. vˆe´ pha’i cu’a cˆong th´
u.c (3.6). Do d´o khi r → 0 vˆe´ pha’i cu’a
`an dˆe´n vˆe´ pha’i cu’a (3.6). T`
u. d´o suy r˘`ang vˆe´ tr´ai cu’a (3.7) c´o gi´o.i ha.n
(3.7) dˆ
khˆong phu. thuˆo.c v`ao c´ach phˆan hoa.ch du.`o.ng cong L v`a khˆong phu. thuˆo.c
`on ta.i.
v`ao c´ach cho.n c´ac diˆe’m ξj . Nhu. vˆa.y t´ıch phˆan o’. vˆe´ tr´ai cu’a (3.6) tˆ

Chu.o.ng 3. L´
y thuyˆe´t t´ıch phˆan h`am chı’nh h`ınh

198

Qua gi´o.i ha.n d˘a’ng th´
u.c (3.7) khi r → 0 ta thu du.o..c (3.6). Di.nh l´
y du.o..c
ch´
u.ng minh.
V´ı du. 1. T´ınh t´ıch phˆan
z pdz,

I=

p = 0, 1, 2, . . .

(3.8)

L

`au z = a v`a diˆe’m
trong d´o L l`a du.`o.ng cong t`
uy y
´ c´o dˆo. d`ai |L| v´o.i diˆe’m dˆ
u.c t`
uy y
´).
cuˆo´i z = b (a v`a b l`a nh˜
u.ng sˆo´ ph´
.
Gia’i. Gia’ su’ z0 , z1, . . . , zn l`a c´ac diˆe’m chia trong ph´ep phˆan hoa.ch du.`o.ng
cong L. Trong tru.`o.ng ho..p d´o: z0 ≡ a, zn ≡ b v`a
n
p+1
zkp+1 − zk−1

bp+1 − ap+1 =
k=1
n

p
zkp + zkp−1 zk−1 + · · · + zk−1
∆zk

=
k=1
n

n

zkp∆zk

=
k=1

zkp−1 zk−1 ∆zk + · · · +

+
k=1

n

n
p−m
zkm zk−1
∆zk

+

p
zk−1
∆zk .

+ ··· +

k=1

(3.9)

k=1

`au v`a tˆo’ng cuˆo´i o’. vˆe´ pha’i cu’a (3.9) l`a c´ac tˆo’ng t´ıch phˆan thˆong
Tˆo’ng dˆ
u. nhˆa´t ta lˆa´y diˆe’m trung gian l`a ξk = zk , c`on trong
thu.`o.ng: trong tˆo’ng th´
tˆo’ng cuˆo´i ta d˘a.t ξk = zk−1 .
n

n

ξkp ∆zk

lim

r→0

k=1

ξkp ∆zk = I.

= lim

r→0

k=1

Ta x´et mˆo.t tˆo’ng n`ao d´o o’. gi˜
u.a, ch˘a’ng ha.n
n
p−m
zkm zk−1
∆zk ,

Sn =
k=1

1
(3.10)

`en ph´
3.1. T´ıch phˆan trong miˆ
u.c

199

v`a so s´anh (3.10) v´o.i tˆo’ng cuˆo´i
n
p
zk−1
∆zk .

Sn =
k=1

Ta c´o
n
p−m m
m
zk−1
(zk − zk−1
)∆zk

|Sn − Sn | =
k=1
n

m−1
zkp−m zkm−1 + zkm−2 zk−1 + · · · + zk−1
∆zk2

=
k=1
n

|zk−1 |p−m |zk |m−1 + · · · + |zk−1 |m−1 |∆zk |2
k=1
n

mR

m

|∆zk |2 ,

(3.11)

k=1

trong d´o R l`a sˆo´ n`ao d´o khˆong b´e ho.n khoa’ng c´ach t`
y cu’a L dˆe´n
u. diˆe’m bˆa´t k`
gˆo´c to.a dˆo..
n
`an ch´
Ta cˆ
u.ng minh r˘`ang lim
|∆zk |2 = 0. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o
r→0 k=1

n

n
2

|∆zk | =
k=1

n

|∆zk | · |∆zk |

r

k=1

|∆zk |

r|L|.

k=1

`an dˆe´n 0.
Do d´o khi r → 0 th`ı tˆo’ng d˜a nˆeu dˆ
T`
u. d´o suy r˘a`ng
lim Sn = lim Sn = I.

r→0

r→0

Qua gi´o.i ha.n (3.9) khi r → 0 ta thu du.o..c
bp+1 − ap+1 = (p + 1)I ⇒ I =

bp+1 − ap+1
,
p+1


u.c l`a
z p dz =
L(a,b)

bp+1 − ap+1
·
p+1