Tải bản đầy đủ
BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC LỚP 10 TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII .pdf (p.1-23)

BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC LỚP 10 TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII .pdf (p.1-23)

Tải bản đầy đủ

Tài liệu Dành cho HS lớp10chuyên Toán
3. Cho hàm số f xác định trên tập

*

và thỏa mãn:

f  n 1  n  1

n1

 2 f  n  ; f 1  f  2013  .

Tính tổng S  f 1  f  2   ...  f  2012  .
HD:
Ta có: f  2   1 2 f 1 ; f  3   2  3 f  2  ; f  4   3  2 f  3 ; ...;
f  2012   2011 2 f  2011 ; f  2013   2012  2 f  2012  .
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
2012

f  2   f  3   ...  f  2012   f  2013   1 2  3  4  ...  2011 2012  2  f  k  .
k 1

Thay f  2013   f 1 ta được:

2012

2012

2012

 f  k   1006  2  f  k    f  k   
k 1

k 1

1006
.
3

k 1

4. Cho hàm số f xác định trên tập các số nguyên dương và thỏa mãn:
f 1  1006 ; f 1  f  2   ...  f  n   n 2 f  n  n 

*

.

Tính f  2012  .
HD:
2
2
Từ giả thiết bài toán ta có:  n 1 f  n 1  f  n   n f  n  

f  n 



f  n 1
Cho n  2,3,..., 2012 ta được:

1

f 1

1
 f  2012  



Nhân vế theo vế các đẳng thức trên ta được:



.
n 1

f  2  1 f  3  2 f  4  3
f  2012  2011
 ;
 ;
 ; ...;

.
f 1 3 f  2  4
f  3 5
f  2011 2013
f  2012 

5. Cho hàm số f :

n 1

1006.2013

.
2013

thỏa mãn: xf  y   yf  x    x  y  f  x 2  y 2  , x, y 

.

Chứng minh rằng: f là hàm hằng.
Giả sử: f không là hàm hằng. Chọn x, y sao cho f  y   f  x   0 và bé nhất.
Từ
f  x 

xf x yf x 
x y



xf y yf x 
x y



xf y yf y 
x y

 f  y   0  f  x 2  y 2   f  x  

f  y  f  x
2

Tài liệu Dành cho HS lớp10chuyên Toán
Điều này mâu thuẫn nên f là hàm hằng.

3

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
6. Tìm tất cả các hàm f : *  * thỏa mãn các điều kiện:
f 1  1; f  m  n   f  m   f  n   mn m, n 

*

HD:
Cho m  1 ta thược: f  n 1  f  n   n 1. Từ đây suy ra nếu tồn tại hàm số thì đó là duy nhất.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: f  n  

n  n  1

.

2
7. Cho hàm số f :



thỏa mãn điều kiện f  m   f  n  nếu m  n là số nguyên tố. Hỏi tập giá trị

của hàm f có ít nhất bao nhiêu phần tử?
HD:
Ta có: 3 1  2; 6  3  3; 6 1  5; 8  3  5; 8  6  2 là các số nguyên tố nên f 1 ; f  3  ; f  6  ; f 8 
phải khác nhau. Do đó tập giá trị của hàm f có ít nhất 4 phần tử.
Xét hàm số f  n  xác định như sau: Nếu n  r  mod 4  thì f  n   r . Khi đó tập giá trị của hàm f có
4 phần tử là: 0;1; 2;3.
Ta chứng tỏ hàm f xây dựng như trên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Thật vậy, nếu f  m   f  n  thì m  n  mod 4   m  n  0  mod 4   m  n là hợp số.
Vậy tập giá trị của hàm f có ít nhất 4 phần tử.
8. Tìm tất cả các hàm f :



thỏa mãn điều kiện: f  m  f  n    f  m   n m, n 

.

HD:
Giả sử: f  0   a  0 .
Khi đó: f  m  f  0    f  m  hay f  m  a   f  m  , m 

. Vì thế f là hàm tuần hoàn và như thế

giá trị của f là tập A   f  0  ; f 1 ;...; f  a 1 .
Ta gọi M là số lớn nhất trong A . Khi đó: f  n   M n 

.

Mặt khác: thay m  0 vào f  m  f  n    f  m   n ta được: f  f  n    n  a có thể lớn tùy ý, vô lý.
Vậy ta phải có f  0   0 . Khi đó: f  f  n    n n 

.

Nếu f 1  0 thì 0  f  0   f  f 1   1, mâu thuẫn. Do đó: f 1  b  0 .
Chứng minh quy nạp: f  n   bn n 

?
4

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
Ta có: f  bn   b n  n  b  1 . Vậy f  n   n n  . Thử lại thấy đúng.
2

5

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
9. Tìm tất cả các hàm f :  thỏa mãn điều kiện: f  mn  1  mf  n   2 m, n 

.

HD:
- Thay m  0 ta có: f 1  2 .
- Lại thay n  0 ta có: f 1  mf  0   2  mf  0   0 m 

 f  0   0

(1)

- Thay n  1 ta có: f  m 1  mf 1  2  2m  2  2  m 1  f  m   2m , m 
Từ (1) và (2) ta có: f  m   2m m 


10. Tìm tất cả các hàm f :

. Vậy f  n   2n n 

*

(2)

.

thỏa mãn các điều kiện:

f  f  n    n  2; f  f  n 1 1  n  4; f  0 1 n 

.

HD:
- Chứng minh f là một đơn ánh?
- Ta có: f  f  n  2    n  4  f  f  n 1 1  f  n  2   f  n 1 1 .
Hay f  n   f  0   n  n 1 n 

( thỏa mãn).

11. Cho hàm số f  n  xác định trên tập hợp các số nguyên dương và thỏa mãn:
f 1  2 và f  n 1  f 2  n   f  n   1 ; n  1; 2;3;...
1

Chứng minh: 1
2

2



2011

1

1



1

 ... 

f 1 f  2 

1

 1

f  2012 

2

2

.

2012

HD:
- Ta có: f  n 1  f  n    f  n  1  f tăng và f  n   2 n 
2

1

- Chứng minh:



1

1

 ... 

f 1 f  2 

1

 1

f  n 

*

?

f  n 1 1
n

- Chứng minh quy nạp: 22  f  n 1 1  22 ?
n1

- Cho n  2012 ta suy ra điều phải chứng minh.
12. Tìm tất cả các hàm số f :





2
thỏa mãn: f  x 1  f  x  1 ; f  x   f 2  x  x 



- Chứng minh quy nap: f  x  n   f  x   n x 
- Với x 

p







 p, q   .Giả sử:

 p

*

f


 q 



m



, n 



.

?
  p2 

 m, n    f
*

m2


.
6

q

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
  n


 p
m


Khi đó: f
q  f
q  q  f


 
q
q
n


 
p

 p2



q2

 2
q
 


 2 p  q2 


m2
n2



2mq

2

n

 q2

n



7

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
p 
m 2 2mq
2mq
m p
Hay f
 2 p  q2 

 q2 
 2p   .
 2 
n2
n
n
n q
q
 

Vậy f  x   x x  .
2

13. Tìm tất cả các hàm f :



thỏa mãn điều kiện:

f  x  y   f  x  y   2 f  x   2 f  y  x, y 

.

HD:
- Cho x  y  0 ta được: 2 f  0   4 f  0  f  0   0 .
- Với x  ny  n 



ta được: f

  n 1 y   f  ny  y   2 f  ny   2 f  y   f   n 1 y  .

- Chứng minh quy nạp: f  nx   n 2 f  x  n 

?

  1  f 1
 f

.
 n
n
2
n
n
 
 
2
 m
 1
 m 
2  1
 f m.
m f

- Ta có: f
f 1 .

 


   
n
n
n
n
 


   
- Thay x bởi

1

2
ta được: f 1  n f

Do đó: f  x   ax 2 x 

1

, trong đó: a  f 1 . Thử lại thấy đúng.

14. Tồn tại hay không hàm f :



thỏa mãn điều kiện: f  x  f  y    f  x   y x, y 

.

HD:
- Chứng minh f là đơn ánh ?
- Cho x  y  0 ta được: f  f  0    f  0   f  0   0
- Cho x  0 ta được: f  f  y     y y 

(*)

- Thay f  y  bởi y vào điều kiện bài toán đã cho và chú ý đến (*) ta có: f  x  y   f  x   f  y  .
Do đó: y  kx x 

. Thay vào điều kiện bài toán đã cho ta suy ra được: k 2  1 , vô lý.

Vậy không tồn tại hàm số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1 5
1
n  .
15. Đặt q 
và gọi f :  là hàm số thỏa mãn điều kiện f  n   qn 
2
q
HD:
Chứng minh rằng

8

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
f  f  n   

f  n  n
n  .
- Từ 1 

1
1 
 f  0  0  f  0   0 . Như vậy điều kiện f  n   qn  đúng với n  0 .
q
q

9

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
- Với n  0 thì f  n   0 . Thật vậy, nếu f  n   0 thì từ f  n   qn 

1

cho ta:

q
qn 

1

 qn 

1

0n

1

 1, vô lý.

q2

q

q
- Để ý rằng q  q 1  1. Từ đó với n  0 tùy ý ta có:

f  f  n    f  n   n  f  f  n    qf  n    q 1 f  n   q  q 1 n
= f  f  n    qf  n    q 1  f  n   qn   f  f  n    qf  n    q 1  f  n   qn 
= f  f  n    qf  n    q 1 f  n   qn
Từ f  n   qn 

1

thay n bởi f  n  ta có: f  f  n    qf  n  

q

.

q

Vậy f  f  n    f  n   n 

1

  q 1 .

q
Do f  f  n    f  n   n 

1

1

1.

q

nên f  f  n     f  n   n  0  f  f  n    f  n   n .
*

16. Chứng minh rằng không tồn tại song ánh f :



thỏa mãn điều kiện:

f  mn   f  m   f  n   3 f  m  f  n  m, n 

*

HD:
Giả sử tồn tại hàm f thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Cho m  1 ta được: f  n   f  n   f 1  3 f 1 f  n  . Nếu f 1  0 thì f  n   0 , vô lý. Vậy phải
có: f 1  0 . Vì f là song ánh nên f  n   1 n  2 .
- Suy ra nếu n là hợp số thì f  n   5 .
Cũng do f song ánh nên có duy nhất p, q, r 

*

sao cho f  p   1, f  q   3, f  r   8 . Chú ý rằng

p, q là các số nguyên tố phân biệt. Khi đó: f  q 2   f  pr   33  q 2  pr , vô lý. Vậy không tồn tại
hàm số.
17. Tìm tất cả các hàm f :



sao cho với mọi m, n, k 

ta đều có:

f  km   f  kn   f  k  f  mn   1.
HD:
k  m  n  0   f  0  1  0 
2

- Cho

10

f  0  1.

Dành cho HS lớp10chuyên Toán

- Cho m  n  k  1  f 1  1.

11

Dành cho HS lớp10chuyên Toán
- Cho m  n  0  f  k   1 k  .
- Cho k  1, m  0  f  n   1 n 
Suy ra: f  n   1 n 
18. Cho f :

*



*

.

.

thỏa mãn các điều kiện: f  m 2 f  n    mnf  m  m, n 

*

.

Chứng minh rằng nếu f  2003   a 2 thì a là số nguyên tố.
HD:
- Chứng minh f là đơn ánh và f 1  1 ?
- Dễ thấy f  f  n    n n 





. Thay n bởi f  n  có:



f m 2 f  f  n    mf  n  f  m   f  m 2 n   mf  m  f  n  .
Vậy f  m 2   mf  m  m và f  m 2 n 2   mf  m  f  n 2   f  m 2  f  n 2  , nghĩa là f nhân tính trên tập
hợp các số chính phương.
Giả sử f  2003   a 2 với a là hợp số, nghĩa là a  mn với m  n  1.
Khi đó: f  f  2003   f  a 2   f  m 2 n 2   2003  f  m 2  f  n 2  Vô lý vì 2003 là số nguyên tố.
19. Tìm tất cả các hàm f :

*



*

thỏa mãn điều kiện:

(i) f tăng thực sự
(ii) f  mf  n    n 2 f  mn  m, n 

*

.

HD:
2
- Thay m  1 ta có: f  f  n    n f  n  .

- Giả sử f  n   n 2  f  f  n    f  n 2   n 2 f  n   f 2  n   f  n   n 2 , vô lý.
- Tương tự ta cũng chứng minh được: f  n   n 2 .
Vậy f  n   n 2 n 

*

.

20. Tìm tất cả các hàm f thỏa mãn hai điều kiện:
(i) m, n 
(ii) m, n 

thì 2 f  m 2  n 2   f 2  m   f 2  n 
2
2
mà m  n thì f  m   f  n  .

HD:
12