Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG I. PHẠM TRÙ MÔĐUN

CHƯƠNG I. PHẠM TRÙ MÔĐUN

Tải bản đầy đủ

-

trỏi khi v ch khi tn ti ng cu

1X

5

-

j : R đ Hom Z (X ; X )

sao cho j (1) = 1X vi

l ng cu ng nht ca nhúm X.

Gii
iu kin cn: Gi s X l R-mụun trỏi, ta s xõy dng ng cu vnh


t

R

vo

HomZ ( X , X )

Xột tng ng

tha món

j (1) = 1X

.

j : R đ Hom Z ( X ; X )
r a fr : fr ( x ) = rx , " x ẻ X





l ỏnh x vỡ vi

r R, f r

l t ng cu nhúm X :

" x , y ẻ X : fr (x + y ) = r (x + y ) = rx + ry = fr (x ) + fr (y )





l ng cu vnh, vỡ

r , s R

:

" x ẻ X : j (r + s ) ( x ) = fr + s ( x ) = ( r + s ) x = rx + sx = fr ( x ) + fs ( x )
= j ( r ) ( x ) + j (s ) ( x )
= ( j (r) + j (s ) ) ( x )

Tc l

j (r + s ) = j (r) + j (s )

(

)

(

" x ẻ X : j (rs ) ( x ) = frs ( x ) = ( rs ) x = r ( sx ) = fr fs ( x ) = fr j (s ) ( x )

(

= j (r ) j (s ) ( x )

)

= j (r ) o j (s ) ( x )

)

-

Tc l

6

-

j (rs ) = j (r ) o j (s )

ng cu vnh j tha
, vỡ
j (1) = 1X
" x ẻ X : j (1) ( x ) = 1x = x = 1X ( x )
Vy tn ti ng cu vnh tha yờu cu bi toỏn.
iu kin : Gi s tn ti ng cu vnh

j (1) = 1X

sau:

j : R đ Hom Z ( X , X )

tha

Ta s chng minh X l R-mụun vi phộp nhõn ngoi nh ngha nh

" x ẻ X , " r ẻ R : rx = j (r )(x )

Khi ú

x, y X ; r , s R

, ta cú

M1:

1.x = j (1)(x ) = 1X (x ) = x

M2:

ự= j (r )(sx ) = r (sx )
(rs )x = j (rs )(x ) = ( j (r ) o j (s ) ) ( x ) = j (r ) ộ

ởj (s )(x ) ỳ



(r + s )x = j (r + s )(x ) = ở
ờj (r ) + j (s ) ỷ
ỳ(x ) = j (r )(x ) + j (s )( x ) = rx + sx
r (x + y ) = j (r )(x + y ) = j (r ) ( x ) + j (r ) ( y ) = rx + ry

M3:
M4:

Vy X l R-mụun trỏi.

Bi 1.2. Chng minh rng trong tỏm tiờn v nh ngha R-mụun trỏi, gm
bn tiờn v nhúm cng giao hoỏn v 4 tiờn M 1 M4, ta cú th b i tiờn
giao hoỏn ca phộp cng. Núi cỏch khỏc, tiờn ú cú th suy ra t by tiờn
cũn li.
Gii
Gi s ta cú by tiờn tr tiờn giao hoỏn ca phộp cng. Khi ú
" x, y ẻ X :

-

7

-

(x + y ) + ( x + y ) = 1.(x + y ) + 1.(x + y ) = ( 1 + 1) ( x + y ) = 2 ( x + y )


x + y + x + y = 2x + 2y



x + y+ x + y =x+ x+ y+ y



Vy

y+x

x+y

=

" x, y ẻ X : y + x = x + y

, tc l phộp cng cng cú tớnh giao hoỏn.

Bi 1.3. Cho X l R-mụun v K l iờan hai phớa ca R. Chng minh rng
vi

xẻ X

thỡ

Kx = {rx : r ẻ K }

l mụun con ca X.
Gii

Ta ch cn s dng tớnh iờan trỏi ca K, tht vy :



Kx ạ ặ

vỡ

K ạ ặ

,

" r ẻ R " sx , tx ẻ Kx

, do s, t ẻ K iờan trỏi ca R nờn

s+t ẻ K

v

rs ẻ K

,

khi ú:
sx + tx = ( s + t ) x
Kx
r ( sx ) = ( rs ) x Kx

Vy

Kx < X

Bi 1.4. Cho R l min nguyờnv X l R-mụun. Phn t
phn t xon nu tn ti

r ẻ R \ {0}

sao cho

rx = 0

. t

xX

(X )

c gi l

l tp hp tt c

-

cỏc phn t xon ca X. Nu

(X ) = X

a)

(X )

(X )

8

-

= 0 thỡ X c gi l mụdun khụng xon, nu

thỡ X c gi l mụun xon. Chng minh :
l mụun con ca X.

b) Mi mụun con ca mụun xon trờn R u l mụun xon trờn R.
c) Mi mụun con ca mụun khụng xon trờn R cng l mụun khụng xon
trờn R.
d/ Mụun thng

e/

Â

-mụun

Ô

X

cú phi l mụun khụng xon hay khụng?
(X )

cú phi l mụun xon hay khụng?
Â

Gii
a)

(X )

luụn cha 0 nờn hin nhiờn khỏc

Ta cn chng minh


(X ) + (X ) (X )

" r ẻ R , " x , y ẻ t (X )

, thỡ



v

R ( X ) ( X )

, à R, 0, à 0 : x = 0, à y = 0

l m(x + y ) = l m(x ) + l m(y ) = ml
( x ) + l ( my ) = 0

Suy ra

x + y ( X )

vỡ

à 0

l (rx ) = r (l x ) = 0

Suy ra
Vy

rx ẻ t (X )

(X )

vỡ

(do R giao hoỏn)

(do R khụng cú c ca 0)

(do R giao hoỏn)

0

l mụun con ca X

-

9

b) Cho X l mụun xon trờn R. Khi ú
Ly A
*
*



-

(X ) = X

X, ta s chng minh A xon, hay

( A) = A

( A) = { a A : R , 0, a = 0} A

(x

" x ẻịẻA

X = t (X )) ị$ẻạ
( l

R, l

0 : l x = 0) ịẻ x

t (A )

A ( A)

Vy

( A) = A

c) Gi s X l mụun khụng xon. Khi ú
Ly

A< X

Xột

Vy

. Ta s chng minh A l mụun khụng xon hay

(A) = 0

x ẻ t (A ) ị ( l ẻ R , l ạ 0 : l x = 0) ị x ẻ t (X ) ị x = 0

( A) = 0

d) Mụun thng

Ly

X

(

l mụun khụng xon. Tht vy :
(X )

x = x + ( X ) X





(X ) = 0

(X )

)

$l ẻ R , l ạ 0 : l x = 0 ị l x = 0 ị l x ẻ t (X )
$mẻ R , mạ 0 : ml x = 0
x ẻ t (X )
do ml ạ 0
x =0

e) Mụun

Ô

l mụun xon. Tht vy:
Â

hay

-

10

-

Ly
x ẻ Ô

Â

Vy



Â

Â

(m ẻ Z , n ẻ Z * )

m
=m = 0
n

ị nx = nx = n
ị x ẻ t (Ô

m
n

, x =

)

)=Ô

hay
Â

Ô

l mụun xon.
Â

Bi 1.5. Cho R l min nguyờn v X l R-mụun. Phn t
phn t chia c nuvi mi
t

R \ {0}

, tn ti phn t

xX

yX

l tp hp tt c cỏc phn t chia c ca X. Nu

( X)

c gi l

sao cho

x = y

( X) = X

gi l mụun chia c. Chng minh rng:
a)

( X)

l mụun con ca X.

b) Mụun thng ca mụun chia c l mụun chia c.
c) Cỏc

Â

-mụun

v

Ô

Ô

u l cỏc mụun chia c.
Â

Gii
a)

(X )

luụn cha 0 nờn hin nhiờn khỏc

Ta cn chng minh
Ly

x, y ( X )

(X ) + (X) (X)

, v

r R



v

.

K ( X ) ( X )

khi ú R, 0, x ', y ' X : x = x '; y = y '

.

thỡ X

-

11

-

x + y = x '+ y ' = ( x '+ y ') x + y ( X )
rx = r x ' = (rx ') rx ( X )

T (1) v (2) suy ra



vỡ

x X

Vỡ x

vi
A

(1)
(2)

(X) l mụun con ca X.



X.

x =x+A

X nờn



x + y ' X , R \ {0}

rx ' X , R \ {0}

b) Gi s X l mụun chia c, v A
Ly

vỡ

R, 0, y X : x = y x = y + A = y = y x

chia

c.
Vy

c)

chn

Ô



Ô

Ô

X

l mụun chia c.
A

l mụun chia uc vỡ nu
x=

m
y = Ô
nk

, ta cú :

k  *

tựy ý,

x = ky

l mụun chia c vỡ
Â

l mụun chia c.
Â

m
Ô (m  , n  * ),
n

vi

 Ô

,

Ô

l mụun chia uc nờn theo cõu b ta

-

12

Bi 1.6. Chng minh rng mi ng cu
giỏ tr ca

g:S Y

f

-

f : X Y

l duy nht xỏc nh bi

trờn mt h sinh no ú. Tuy nhiờn khụng phi mi ỏnh x

cú th m rng thnh ng cu t X vo Y.

Hóy tỡm iu kin cho g g cú th m rng thnh ng cu trờn X.
Gii
Gi s

S = { si } iI

l h sinh ca X .

x X ri R, J I , J hửừu haùn : x = ri si f ( x ) = ri f ( si )
iJ

iJ

Tc l f c xỏc nh bi giỏ tr ca f trờn h sinh S
Hn na nu tn ti ng cu h sao cho

h(s) = f (s), s S

thỡ





h ( x ) = h ri si ữ = ri h ( si ) = ri f ( si ) = f ri si ữ = f ( x )
iJ
iJ
iJ
iJ


tc l
Vy

f

h= f

trờn X.

l duy nht xỏc nh bi giỏ tr ca

nh x

g:S Y

f

trờn mt h sinh no ú ca X.

cú th m rng thnh ng cu

f

no ú t X vo Y, khi

v ch khi S l c s ca X.
iu kin cn: Ta s a ra phn vớ d chng t nu S ch l h sinh
m khụng phi c s thỡ ỏnh x g khụng th m rng thnh ng cu no c.

-

Xem

l

Â

Â

13

-

-mụdun. Vỡ (2,3) = 1 nờn tn ti

S={2,3} l h sinh ca

Â

. Xột ỏnh x

g:S Â

Gi s g cú th thỏc trin thnh ng cu

f

p, q Z :1 = 2 p + 3q

, suy ra rng

, vi g(2)=-1 v g(3)=0

t

Â

vo

Â

v

f

S

=g

f (5) = f (2) + f (3) = g ( 2 ) + g ( 3 ) = 1
f (5) = 5 f (1) = 5 f (1.2 + 3) = 5[ f (2) + f (3)] = 5[g(2) + g(3)] = 5

Suy ra

f

khụng phi l ng cu

Vy g khụng th m rng thnh ng cu no t

Â

vo

Â

c.

iu kin : Gi s S = {xi}iI l c s ca X. Khi ú

biu din duy nht

x X

, cú s

. nh ngha ng cu

n

x = ai xi (ai R, xi S , n Ơ * )
i =1

f : X Y

xỏc nh bi

tc l

n

x X : f ( x) = ai g ( xi )

f

ohon ton xỏc nh

i =1

nh s biu din suy nht ca x qua S, hn na l R-ng cu v
f

Bi 1.7. Cho

AX

l tp cỏc

f , g : X Y

xX

m

f

S

=g

.

l cỏc ng cu t mụun X vo mụun Y. Gi

f ( x ) = g ( x)

. Chng minh rng
Gii

A X

-

Theo


A

Ly

A = { x X : f ( x) = g ( x )}

vỡ

0 A

14

-

. Ta cn chng minh

A + A A, RA A

.

x, y A, r R

ta cú

f ( x) = g ( x ), f ( y ) = g ( y )

nờn
(1)
x
+
y

A

A
+
A

A
f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) = g ( x ) + g ( y ) = g ( x + y )
f (rx ) = rf ( x ) = rg ( x ) = g ( rx )

T (1) v (2) suy ra

nờn

(2)

rx A RA A

.

A X

Bi 1.8. Mụdun X c gi l mụun n nu X ch cú hai mụun con l 0
v X. Cho ng cu
a)

Im f

b) Nu

f : X Y

vi X l mụun n. Chng minh rng:

l mụun con n ca Y

Im f 0

thỡ

f

l n cu.
Gii

a) Do
Ly

f : X Y

B Im f

l R-ng cu nờn
thỡ

f 1 ( B ) = 0
B = 0

1
f ( B) = X B = Im f

Vy

Im f

l mụun n

1

Im f Y

f ( B) X

m

X

l

mụun

n

nờn

-

b)

v X l mụun n suy ra

Kerf X

M

Im f 0

Vy

f

15

nờn

Ker f X

. Do ú

-

ker f = 0
ker f = X


Kerf = 0

.

l n cu.

Bi 1.9. Cho A v B l cỏc mụun con ca mụun X. Chng minh:

( A + B)



A

B

AB

Gii
Xột ỏnh x



f : B ( A + B)

l ng cu vỡ

f

vi
A

a, b B, R

b a b+ A

ta cú

f (a + b) = a + b + A = (a + A) + (b + A) = f (a ) + f (b )
f ( a ) = a + A = ( a + A ) = f ( a )



f

Ly

ton ỏnh, tht vy:

(a + b) + A ( A + B )

, tn ti
A

f (b) = b + A = ( a + b) + A ( A + B )

Theo nh lý Noether ton cu

Mt khỏc:

f

b B

sao cho:

A

cm sinh ra ng cu
B

Ker f

( A + B)

Kerf = { x B : f ( x) = 0} = {x B : x = 0} = { x B : x A} = A B

A