Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI SIEGERT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI SIEGERT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH

Tải bản đầy đủ

Header Page 22 of 161.

14
B(=
η)


∂ ξ +η ∂2
Eξ Fξ 2
+

+

ξ
rV
r
(
)
∂ξ ∂ξ 4ξη ∂ϕ 2
2
4

(19)

là một toán tử tác dụng lên hàm sóng của ξ và ϕ và phụ thuộc vào η như là một tham
số. Trị riêng và hàm riêng của nó được xác định bởi
0,
[ B(η ) − Bν (η )] Φν (ξ ,ϕ ;η ) =

Φ
=
0,ϕ ;η ) < ∞, Φν (ξ → ∞,=
ϕ ;η ) 0,
ν (ξ
Φν (ξ ,ϕ + 2π ;η ) =
Φν (ξ ,ϕ ;η ),

(20a)
(20b)
(20c)

ngoài ra cũng phụ thuộc vào η như là một tham số. Với bất kỳ η , những hàm riêng khác
nhau của B(η ) thì trực giao và chuẩn hóa bởi
∞ 2π

Φν Φ µ ≡ ∫

∫ Φν (ξ , ϕ ;η ) Φ µ (ξ , ϕ ;η ) dξ dϕ =dνµ .

(21)

0 0

Nghiệm từ phương trình (20) thành lập cơ sở đoạn thời gian và hàm Φν (ξ , ϕ ;η )
được gọi là hàm kênh. Ta xem xét đến phương trình (16), Hamiltonian đoạn thời gian
cũng như nghiệm riêng dừng của nó phụ thuộc vào η trong vùng gần đúng. Vậy ý tưởng
hàm kênh cho phép sự phân ly biến số và có dạng
Φn (ξ , ϕ ;η ) =
Φ nξ m (ξ , ϕ ) =
φnξ m (ξ )

eimϕ
.


(22)

Với m = 0, ±1, ±2,... là số lượng tử phương vị và nξ = 0,1, 2,... liệt kê những nghiệm
khác nhau từ phương trình (20) trong vùng gần đúng. Bằng việc tiếp tục giải tích theo η ,
ta có thể sử dụng sự phân loại n = (nξ , m ) để chỉ rõ nghiệm kênh từ Hamiltonian đoạn
thời gian (19).
Từ sự định nghĩa hàm kênh Φν (ξ , ϕ ;η ), nghiệm từ phương trình (18) được tìm
dưới dạng một sự mở rộng trong cơ sở đoạn thời gian,

Footer Page 22 of 161.

Header Page 23 of 161.

15
=
ψ (r ) η −1/2 ∑ fν (η ) Φν (ξ , ϕ ;η ).

(23)

ν

Thay (23) vào phương trình (18). Ta có
 ∂

Eη Fη 2  −1/2
+
+
+
η
η
η ∑ fν (η ) Fν (ξ , ϕ ;η ) =
B
(
)
0
 ∂η ∂η
2
4 
ν


Để đơn giản, có thể viết lại dưới dạng
 ∂

Eη Fη 2  −1/2
+
+
+
B
(
)
η
η
η ∑ fν Fν =0
 ∂η ∂η
2
4 
ν


Ta đi tính riêng lẻ từng phần
Ta có:


η
∂η ∂η

 − 12

η ∑ fν Φν 
ν



1


∂  1 − 32
η  − η ∑ fν Φν + η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' ) 
=
∂η  2
ν
ν

1
∂  1 − 12
'
' 
2
=
 − η ∑ fν Φν + η ∑ ( fν Φν + fν Φν ) 
∂η  2
ν
ν


1 1 −3
1 −1
=− . − η 2 ∑ fν Φν − η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' )
2 2
2
ν
ν
1
1 −1
+ η 2 ∑ ( fν' Φν + fν Φν' ) + η 2 ∑ ( fν''Φν + 2 fν' Φν' + fν Φν'' )
2
ν
ν
1
1
1 −3
= η 2 ∑ fν Φν + η 2 ∑ ( fν''Φν ) + η 2 ∑ ( 2 fν' Φν' + fν Φν'' )
4
ν
ν
ν

Ta lại có:


B(η ) η −1/2 ∑ fν Φν 
ν


−1/2
= η ∑ fν=
B(η )Φν η −1/2 ∑ fν Bν Φν
ν

Footer Page 23 of 161.

ν

(24a)

Header Page 24 of 161.

16

Thay lại vào (24a), nhân cả hai vế cho η −1/2 , ta được:
1
4η 2

E

fν Fν + ∑ fν Fν + ∑ ( 2 fν Fν + fν Fν ) + ∑ fν Bν Fν +  +

η ν
2
ν
ν
ν
''

'

'

''

1

Fη 
∑ fν Fν =0
4  ν

(24b)

Nhân cả hai vế (24b) cho Φ µ , rồi lấy tích phân trên toàn miền xác định
1
4η 2
+

1

∞ 2ππππ
∞2
∞2
∞2
''
' '

fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫ ∑ fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫ ∑ 2 fν FF
ν
µ d ξ dϕ + ∫ ∫
∫∫∑
ν
ν
ν
0 0

0 0

0 0

''
fν FF
ν
µ d ξ dϕ

0 0

∞ 2πππ
∞2
∞2

E

fν FF
∑ f B FF dξ dϕ + 2 ∫ ∫ ∑
ν
µ d ξ dϕ +
η∫∫ ν ν ν ν µ
ν
0 0

0 0


4

fν FF
ν
µ d ξ dϕ =0
∫∫∑
ν
0 0

∞ 2π



∫ ∫ Φν Φ µ dξ dϕ =d µν . Ta có 1 hệ phương trình vi phân thường xác định hệ số hàm chưa
0 0

biết fν (η )
 d2


1
E βν Fη 
d
0
 dη 2 + 4η 2 + 2 + η + 4  fν (η ) + ∑  2 Pνµ (η ) dη + Qνµ (η )  f µ (η ) =
µ 




 d2 1



d
<=>  2 + [ E − Uν (η ) ] fν (η ) + ∑  2 Pνµ (η )
+ Qνµ (η )  f µ (η ) = 0,
2

µ 

 dη


(24c)

với
2 β (η ) Fη
1
− 2− ν

Uν (η ) =
η

2

(25)

là thế và ma trận đoạn thời gian có dạng
∂Φ µ
∂ 2Φ µ
Pνµ (η ) =
Φν
, Qνµ (η ) =
Φν
.
∂η
∂η 2

(26)

tương ứng với quá trình đoạn thời gian không kết hợp. Trong vùng gần đúng, những ma
trận này triệt tiêu nhau và phương trình (27) trở thành phương trình không kết hợp. Với F

Footer Page 24 of 161.

Header Page 25 of 161.

17

> 0 và với F = 0, những nghiệm sóng truyền qua từ phương trình không kết hợp thỏa
[1,3]
 iF 1/2η 3/2 iEη 1/2 
21/2 fν
=
+ 1/2  .
fν (η ) η →∞
exp 
F 
( Fη )1/4
 3

(27)

Ở đây, fν là hệ số gần đúng. Giá trị tuyệt đối và bình phương của nó cho thấy
phần độ rộng của trạng thái Siegert tương ứng với sự ion hóa trong kênh ν (xem phương
trình (40) trong [8]). Trạng thái Siegert được miêu tả bởi những nghiệm từ phương trình
(27) thỏa tính liên tục của điều kiện biên tại η → 0 và điều kiện biên sóng truyền qua (27)
tại η → ∞ . Như vậy, những nghiệm này chỉ tồn tại như một hệ gián đoạn của các giá trị
phức thông thường của năng lượng E. Những phần thực và phần ảo của trị riêng năng
lượng E của trạng thái Siegert xác định năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của trạng thái
i
E =ε − Γ
2

(28)

Hàm riêng của trạng thái Siegert được chuẩn hóa bởi
2
=
∫ψ (r )dr

2.2.

∞ ∞ 2π

1
ψ 2 (r )(ξ + η )dξ dη d=
ϕ 1



400 0

(29)

Phương pháp tính số

Để sử dụng trạng thái Siegert như là một công cụ lý thuyết cho nhiều ứng dụng
khác nhau trong vật lý trường mạnh, chúng ta phải giải được phương trình (18) cho
trường hợp thế năng phân tử ở dạng tổng quát. Ta không có nhiều kiến thức về bất kỳ
những đề cập nào liên quan đến vấn đề này, vì vậy điều quan trọng là cần đưa ra những
chi tiết của công cụ phương pháp tính hiện nay. Phương pháp này được triển khai trong
[2] theo trục của thế đối xứng bằng cách tính toán cho một cặp giữa những thành phần
của hàm sóng tương ứng với những giá trị khác nhau của số lượng tử phương vị m. Nó
dựa trên phương pháp SVD (Slow-variable discretization) [11] kết hợp với kỹ thuật lan R
- matrix propagation [1]. Yếu tố kỹ thuật khác chủ yếu của phương pháp này là DVR

Footer Page 25 of 161.

Header Page 26 of 161.

18

(Discrete variable representation) [2]. Tất cả những chi tiết cần thiết cho việc xây dựng
DVR là những dạng khác nhau của đa thức trực giao có thể tìm trong [10].
2.2.1. Vấn đề trị riêng đoạn thời gian
Đầu tiên ta thảo luận về nghiệm của trị riêng đoạn thời gian (20). Đối với thế đối
xứng theo trục, số lượng tử phương vị m thì bảo toàn. Ứng với từng giá trị m, hàm kênh
m /2
tại ξ → 0 . Mỗi hàm kênh có thể được mở rộng
đoạn thời gian có dạng Φν (ξ , ϕ ;η ) ∝ ξ
(m)
trong DVR dựa trên sự xây dựng từ đa thức Laguerre Ln (sξ ) [2]. Trong trường hợp

tổng quát, tuy nhiên, Φν (ξ , ϕ ;η ) chứa số nguyên, ta xem nó như một năng lượng bán
nguyên của ξ với ξ → 0 , không thể trình bày bằng một DVR cơ bản với một giá trị m cố
định. Để giải quyết được vấn đề khó này ta giới thiệu một biến mới là x, được định
nghĩa:
x = ( sx )1/2 .

(30)

Thừa số đo đạc s đóng vai trò cơ bản trong biểu thức x trong vùng định xứ của những
kênh đoạn thời gian. Giá trị tốt nhất cho thế và trạng thái được ta chọn dựa trên kinh
nghiệm. Trong những tính toán này ta sử dụng s  2 E . Trong những số hạng của biến
mới, phương trình (20a) được viết lại
 ∂ ∂  s x  ∂2
 s x +  +  2 − x[2 (x + η )V (x ,η ,ϕ )
 ∂x ∂x  x η  ∂ϕ
−2 Exx
+ F + 4βν (η )]} Fν (x ,ϕ ;η ) =
0.

(31)

2

Nghiệm từ phương trình chỉ chứa những năng lượng nguyên của x tại x → 0 , chính là
mục đích của sự biến đổi (30). Chúng có thể được mở rộng theo hướng hai thiết lập cơ
bản không phụ thuộc vào x và ϕ .
(x )
ϕ
Φν (x ,ϕ ,η ) =
∑ aνi1i2 (η )ππ
i1 ( x ) i2 (ϕ ).
ii i2

Footer Page 26 of 161.

(32)

Header Page 27 of 161.

19

Với π ix ( x) là cơ sở DVR được xây dựng dựa vào đa thức Laguerre Ln ( x) = L(0)
n ( x ) [10]
thỏa tính liên tục và điều kiện biên gần đúng (20b), và π iϕ (ϕ ) dựa trên phép cầu phương
Chebyshev và xây dựng từ hàm sin và hàm cos [6] thỏa điều kiện biên tuần hoàn (20c).
Thay phương trình (32) vào phương trình (31), chúng ta nhận được phương trình ở dạng
đại số


 s

xi1 



δ +  +  δ K  aν
∑  sK xj
x
η 
( )
i1 j1 i2 j2

i1 j1

( )
i2 j2

j1 j2 (η )



 i1

2
+ xi1 [2(xi1 + η )V (xi1 ,η ,jxx
i2 ) − 2 E i1 + F i1

j1 j2

(33)

0,
+ 4 βν (η )]aνi1i2 (η ) =

với xi và ϕi là điểm cầu phương Laguerre và Chebyshev, và xi = xi2 / s . Ma trận động
năng đối với chuyển động theo x và ϕ được cho bởi
K

(x )
ij

K

(j )
ij

=∫

=∫



0

0

(x )

dπ i(x ) ( x) dπ j ( x)
x
dx,
dx
dx



(34a)

(j )

(j )
dπj
dπj
j ( )
i ( )
dj .
djj
d

(34b)

Chúng có thể được tính toán giải tích dựa trên những phương pháp được mô tả trong [6
,10]. Phương trình (33) được giải bởi đại số tuyến tính chuẩn hóa. Vì vậy trị riêng βν (η )
và hệ số aνi1i2 (η ) trong phương trình (32) có thể được xác định cho những hàm kênh đoạn
thời gian khác nhau tại bất kỳ điểm η nào. Thay phương trình (32) vào phương trình
(21), điều kiện trực giao có dạng
2
∑ xi aνi i (η )aiµ1i2 (η ) = δνµ ,
s iii2 1 1 2

(35)

nó tuân theo sự trực giao và chuẩn hóa của những phương trình cơ bản DVR [6, 10].

Footer Page 27 of 161.

Header Page 28 of 161.

20

Việc giải quyết một vấn đề trị riêng hai chiều (20) được mô tả trên sử dụng một cơ
sở DVR tổng quát và vì vậy làm cho thế trở nên đủ mượt hơn. Đây là trường hợp thế
phân tử có lõi mềm được xác định bởi điểm kì dị Coulomb tại hạt nhân. Trong trường
hợp này, cơ sở DVR cần được đảm bảo hội tụ nhanh và sự chính xác về kết quả. Theo
nguyên lý, nó có thể đếm số điểm kì dị Coulomb bởi sự chuyển đổi từ một vài cơ sở,
giống như việc xác định những nguyên tố. Tuy nhiên, sẽ bắt buộc một số mạng lưới uốn,
vì vậy vị trí của hạt nhân trong số hạng hệ tọa độ ξ và ϕ phụ thuộc vào cấu hình liên
phân tử và sự định phương của phân tử, và sự bổ sung của nó cho bất kỳ phân tử nào
dường như không được xem là thẳng.
2.2.2. Phương pháp SVD (Slow-variable discretization) và R - matrix
propagation
Ở đây chúng ta thảo luận nghiệm của phương trình (18) trong vùng bên trong
0 ≤ η ≤ ηc . Vùng này được chia bởi N thừa số,
0 = η 0 < η 1 < ... < η N = ηc .

(36)

Xét đến thừa số thứ k, η − ≡ η k −1 ≤ η ≤ η k ≡ η + . Ma trận cơ sở R trong những thừa số này
xác định bởi
 ∂

E nη Fη 2 
− L + B(η ) +
+
0
 η
 ψ n (ξ ,ϕ ;η ) =
2
4 
 ∂η ∂η

(37)

với L là toán tử Bloch [3],
L= η[δ (η − η + ) − δ (η − η − )]


.
∂η

(38)

Những nghiệm khác nhau từ phương trình (37) trực giao với η .
η+

∫η

Footer Page 28 of 161.



ψ n (ξ ,ϕ ;η ) ψ m (ξ ,ϕ ;η ) η dη = d nm .

(39)

Header Page 29 of 161.

21

Chúng ta giải phương trình (37) với phương pháp SVD [11]. Và cuối cùng, ta giới thiệu
một biến mới y được thay
η η ( y ), η=
=
(±1) η ± .

(40)

Hàm η ( y ) trở nên đơn điệu, và dẫn đến thừa số ánh xạ ngược được xét trong khoảng
−1 ≤ y ≤ 1; dạng tường minh của η ( y ) được cho bên dưới. Nghiệm của phương trình (37)

trong sự mở rộng SVD [11],
=
y n (ξ ,ϕ ;η )

π η ( y ) Φ (ξ ,ϕ ;η ).
∑n c nn
n
i

( )
i

i

(41)

i

Với π i (η ) (y) là cơ sở DVR được xây dựng từ đa thức Legendre [10] và ηi = η ( yi ), với yi
là điểm cầu phương Legendre. Thay phương trình (41) vào phương trình (37) chúng ta sẽ
nhận được trị riêng SVD.

E nηi Fηi 2  n
(η )
'
n
(
)
0,

+
+
K
O
c
B
η
η
 ci =

ij
in , j µ j µ
i  nn
i
2
4 



(42)

với K ij(η ) là ma trận động năng.

K

(η )
ij

(η )

dπ i(η ) (y) η ( y ) dπ j (y)
dy.
=∫
−1
dy η ' ( y ) dy
1

(43)

Oiν , j µ là ma trận chồng chập của những cơ sở đoạn thời gian tại những điểm kì dị khác

nhau,
Oiν , j µ =
Φν (ξ ,j ;ηi ) Φ µ (ξ ,j ;η j ) ,

(44)

và ηi' = η ' ( yi ). So sánh những đề cập dựa trên sự mở rộng của (23) và (41), nó xem như là
phương pháp SVD để tránh việc giải những phương trình dài dòng cùng với đoạn thời
gian không kết hợp (24c) và tính toán những ma trận (26). Thay vì ta phải tính ma trận
chồng chập (44), ta có thể dễ dàng làm được bằng cách sử dụng phép cầu phương với sự

Footer Page 29 of 161.

Header Page 30 of 161.

22

mở rộng DVR (32), và giải trị riêng đại số. Vì vậy ta xác định được trị riêng ma trận R
E n và hàm riêng ψ n (ξ ,η , ϕ ) cho thừa số. Thay phương trình (41) vào phương trình (39),

điều kiện chuẩn hóa có dạng
c =δ
∑n ηη c nn
n m
'
i i i i

nm

,

(45)

i

nó phụ thuộc vào tính chất của những hàm cơ bản của DVR [10] và phương trình (21).
Ta hãy trở lại hàm η ( y ) xác định biến số thay đổi (40). Sự thay đổi này có những
dạng khác nhau trong thừa số thứ nhất và những thừa số xa hơn. Đối với thế đối xứng
theo trục, nghiệm từ phương trình (37) với một giá trị số lượng tử phương vị m có dạng

ψ n (ξ ,η , ϕ ) ∝ η m /2 tại η → 0 . Thay η (=
y ) n1 (1 + y ) / 2 , với mỗi hàm có thể mở rộng trong
(0, m )
những số hạng của cơ sở DVR xây dựng từ đa thức Jacobi Pn ( y ) [2]. Tuy nhiên,

ψ n (ξ ,η , ϕ ) chứa số nguyên xem như là những năng lượng bán nguyên của η với η → 0 .
Sự khó khăn giống như ta thảo luận trước đó và ta đã biết biện pháp để giải quyết. Hàm
η ( y ) trong thừa số thứ nhất 0 ≤ η ≤ η1 xác định bởi

η=
( y)

η1
4

(1 + y ) 2 .

(46)

Nghiệm từ phương trình (37) chỉ chứa năng lượng bán nguyên của (1 + y ) tại y → −1 ,
tương ứng với η → 0 , và vì vậy có thể được mở rộng từ đa thức Legenrde
Pn ( y ) = Pn(0,0) ( y ). Ta chú ý rằng những biến thay đổi không tuyến tính tương tự phương

trình (30) và (40) với η ( y ) cho bởi phương trình (46), mục đích là loại bỏ những năng
lượng bán nguyên của những biến tương ứng khi có một sự kết hợp giữa những thành
phần phương vị khác nhau của hàm sóng, gần đây được sử dụng trong sự tính toán của
tán xạ đàn hồi lên thế Coulomb tại hai trung tâm. Với thừa số k ≥ 2 , sự khó khăn thảo
luận trên không xảy ra, và ta sử sụng một sự chuyển đổi tuyến tính có dạng

Footer Page 30 of 161.

Header Page 31 of 161.

23
η ( y )=

1
[(η + + η − ) + (η + − η − ) y ].
2

(47)

Đối với cả hai phương trình (46) và (47), ma trận (43) có thể được tính toán giải tích sử
dụng công thức trong [10].
Ma trận R(η ; E ) cho nghiệm của phương trình (18) với những kênh đoạn thời gian
xác định bởi
Φν (ξ ,ϕ ;η ) ψ (ξ ,ϕ ;η )
=

∑ Rνµ (η ; E ) Φν (ξ ,ϕ ;η )
µ

∂ψ (ξ ,ϕ ;η )
.
∂η

(48)

Ta có những nghiệm từ pt (37), ma trận R(η ; E ) có thể lan truyền suốt thừa số. Sự lan
truyền thì được thực hiện bởi phương trình [1]
−1

R (η ± ; E ) =
±R ( ± ,± ) − R ( ± , )  R (η  ; E ) ± R (  , )  R (  ,± ) ,

(49)

với những ma trận R ( ± ,± ) cho bởi
n

( ± ,± )

Rnµ

= 2∑
n

n

f n (η ± ) f µ (η ± )
En − E

.

(50)

Với
η ± Φn (ξ ,j ;η ± ) ψ n (ξ ,η ± ,j ) =
η ± ∑ c nj µπ (jη ) (±1)On±, j µ
f n (η ± ) =
n

1/2

1/2

(51)



là biên độ bề mặt của hàm riêng ma trận R, và
Φν (ξ ,j ;η ± ) Φ µ (ξ ,j ;η j )
Oν±, j µ =

(52)

là ma trận chồng chập bề mặt. Giải phương trình (37) ứng với mỗi thừa số trong vùng bên
trong và thay vào phương trình (49), chúng có thể lan truyền giữa hai điểm biên η k .

Footer Page 31 of 161.

Header Page 32 of 161.

24

Phương pháp mô tả trên cho phép chúng ta giải quyết vấn đề với bất kỳ giá trị năng lượng
E và trường F .

2.2.3. Điều kiện biên của sóng truyền qua
Trong vùng bên ngoài η > ηc , ta cần giải phương trình (24c) không lệ thuộc vào
điều kiện biên của sóng truyền qua (27). Nghiệm fν (η ) dao động một cách nhanh chóng
với biên độ tăng theo hàm mũ khi η → ∞ dọc theo trục thực. Lúc này nó nhanh chóng đạt
đến dạng gần đúng của nó một cách rất chậm. Sai số quan hệ của phương trình (27) giảm
theo 1 / η . Hai trường hợp làm nó khó đạt độ chính xác cao trong những tính toán phụ
thuộc vào trục thực η . Một giải pháp cho vấn đề này được trình bày trong [2]. Ý tưởng là
làm thay đổi khoảng thực [ηc , ∞) của biên dưới dạng phức η . Điều này khả thi vì các hệ
số trong phương trình (24c) đã được biết một cách giải tích. Ta giải phương trình (24c)
dọc theo một dốc đứng bán cổ điển đi xuống tới biên C (một đường Stokes) xác định bởi
[2]
1 − m 2 βηξ m E Fη ' 
Re ∫ 
+
+ +
 dη ' = 0 → η ∈ C.
2
ηc
2
4 
η'
 4η '
1/2

η

(53)

Biên này bắt đầu tại η = ηc , chạy từ vô cực đến trong khoảng nửa trên của vùng mặt
phẳng song song dưới dạng phức đến η = π / 3. Nghiệm của sóng truyền qua từ phương
trình (24c) giảm theo hàm mũ khi η tiến đến vô cùng dọc biên này, vì vậy phương trình
(27) có số lượng điểm không điều kiện biên gần đúng đối với fν (η ) phụ thuộc vào C. Ta
bắt đầu từ một điểm η∞ ∈ C , việc tích phân trong phương trình (53) có một giá trị lớn, và
sự lan truyền nghiệm của phương trình (24c) dọc theo C hướng vào ηc bởi bốn số hạng
của phương pháp Runge-Kutta. Bởi vì những số không bền vững gây ra những giá trị xác
định của sự tính toán, không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của fν (η ), chỉ duy nhất có
nghiệm tăng theo hàm mũ tồn tại trong sự lan truyền. Đây chính là nghiệm chúng ta cần,
nó thỏa mãn điều kiện biên của sóng truyền qua (27). Ta chú ý rằng phương pháp này chỉ

Footer Page 32 of 161.