Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Tải bản đầy đủ

Header Page 27 of 161.

21

F  kx  v  ma

(3.1)

Hay ta có kx   x '  mx '' .
x ''


m

x '

k
x0
m

(3.2)



2 

m

Đặt 
thay vào phương trình trên ta được:
k
 
0

m


x '' 2 x ' 02 x  0

(3.3)

Đây được xem là phương trình vi phân chuyển động của vật với tần số dao động

0 

k
và hệ số tắt dần là    . Nếu coi hệ dao động gồm con lắc lò xo và môi
m
2m

trường nhớt xung quanh thì lực tác dụng của môi trường là nội lực. Dao động của hệ là
dao động tắt dần. Để khảo sát quá trình này, ta tìm nghiệm của phương trình vi phân:

x '' 2 x ' 02 x  0
2
2
Phương trình đặc trưng k  2 k  0  0

2
2
ta có biệt thức:  '    0
2
2
-  '  0    0  0    0 (ma sát lớn, hệ số ma sát  lớn)
2
2
-  '  0    0  0    0 (ma sát nhỏ, hệ số ma sát  nhỏ)

2
2
-  '  0    0  0    0

 Trường hợp ma sát lớn.

Footer Page 27 of 161.

Header Page 28 of 161.

22

Do  '  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
k      2   2
0
 1

k2      2  0 2

Nghiệm tổng quát của phương trình khi này là:

x  C1ek1t  C2ek2t
     2  2 t

0 


 C1e

 e  t (C1e

 2 02 t

     2  2 t

0 


 C2e
 C2e

  2 02 t

)

(3.4)

Với C1, C2 là các hằng số bất kỳ, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.
 Trường hợp ma sát nhỏ.
Do  '  0 nên phương trình có hai nghiệm phức:
k     i  2   2
0
 1

k2     i  2  0 2


Khi đó phương trình có 2 nghiệm độc lập là:

 x1  e  t cos k1t

t
 x2  e sin k2t
Nghiệm tổng quát của phương trình:

x  C1 x1  C2 x2



 e  t C1 cos  2  0 2 t  C2 sin  2  0 2 t

 Trường hợp giới hạn.

Footer Page 28 of 161.



(3.5)

Header Page 29 of 161.

23

Do  '  0 nên phương trình có nghiệm kép:

k1  k2  
Khi đó phương trình có 2 nghiệm:

 x1  e  t

t
 x2  x.e
Nghiệm tổng quát của phương trình là:

x  C1 x1  C2 x2

(3.6)

 e  t (C1  C2 x)
3.1.2. Tính chính xác của thuật toán
Ta xét vật dao động tắt dần trong trường hợp ma sát nhỏ. Phương trình dao động tắt
dần có dạng:
x ''


m

x '

k
x0
m

x '' 2 x ' 02 x  0
Ta xét vật đặt trong các điều kiện ban đầu như sau:
m  1
   0.1

k  1
x  5
 0
v0  0

Khi đó ta dễ dàng tính được:

Footer Page 29 of 161.

Header Page 30 of 161.

24

   0.05

0  1
  '   2  0 2  0

Khi  '  0 phương trình vi phân trên có nghiệm:



x  e  t C1 cos





 2  0 2 t  C2 sin



 2  0 2 t



Từ đó ta tính được:



x '  v    .e  t C1 cos







 2  0 2 t  C2 sin

e  t C1.  2  0 2 .sin







 2  0 2 t



 2  0 2 t  C2 .  2  0 2 .cos



 2  02 t



Sử dụng 2 điều kiện ban đầu:
 x0  5

v0  0

Ta tính được:
C1  5

5
C2 

 2  0 2


Từ đây ta có phương trình dao động tắt dần của vật trong trường hợp này là:

x  e  t  5cos






 2  0 2 t 

5
sin
399



 

 2  0 2 t 

(3.7)

Phương trình (3.7) là nghiệm giải tích chính xác của bài toán với các thông số ban
đầu được cho phía trên.
Chúng tôi sử dụng chương trình tính toán dựa trên thuật toán Runge – Kutta bậc 4 để
giải số cho phương trình dao động tắt dần của hệ vật khi xét bước nhảy thời gian có các

Footer Page 30 of 161.

Header Page 31 of 161.

25

giá trị khác nhau: N = 50, 100, 500, 1000. Từ đó so sánh với nghiệm chính xác từ phương
trình (3.7) để đánh giá độ tin cậy của phương pháp giải số được đề xuất trong luận văn
này.

Hình 3.1. Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng sự khác biệt giữa thuật toán Runge-Kutta và
phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10xét tại N=50 (a) và tại N = 500 (b).

Trong đồ thị trên đường màu xanh ứng với kết quả theo phương pháp giải tích, dấu
chữ thập màu đỏ ứng với kết quả theo phương pháp giải số. Từ đồ thị trên nhận thấy
được rằng kết quả theo phương pháp giải số hoàn toàn phù hợp với kết quả giải tích. Khi
tổng số bước nhảy là 500 thì đồ thị có dạng mượt hơn so với khi xét tổng số bước nhảy
là 50. Tuy nhiên nếu nhìn vào đồ thị này vẫn chưa thể đánh giá được sai số của phương
pháp giải số so với phương pháp giải tích, vì vậy chúng tôi tiến hành đánh giá sai số dựa
trên công thức  

xa  xn
xa

. Trong đó xa tọa độ chúng tôi đang xét theo phương pháp giải

tích, xn tọa độ của vật xét theo phương pháp giải số.

Footer Page 31 of 161.

Header Page 32 of 161.

26

Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích
trong khoảng thời gian 0-10 xét tại N = 50 (a), N = 100 (b), N = 500 (c) và N = 1000 (d).

Trong hình 3.2 ta thấy sai số tìm ra hầu như nhỏ,khi tổng số bước nhảy là 50, sai số
của phép toán lên đến khoảng 20%, khi tổng số bước nhảy là 100 thì sai số của phương
pháp giải số khi này chỉ còn khoảng 3%, đặc biệt khi xét N = 1000 thì sai số này có độ
tin cậy khá cao với sai số khoảng 0,01%, từ đó cho thấy phương pháp số đang sử dụng
có độ tin cậy cao, có thể dùng để tính toán và giải quyết các bài toán vi mô.

Footer Page 32 of 161.

Header Page 33 of 161.

27

3.2. Khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon bằng mô
hình tập hợp ba chiều cổ điển.
3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử
Argon.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả khảo sát quá trình ion hóa kép không
liên tục của nguyên tử Ar với cường độ 21014W/cm2 khi thay đổi độ dài xung laser.
Trong bài luận văn này, chúng tôi đã sử dụng xung laser với bước sóng 800nm với hình
bao là hình thang trong đó gồm N1 chu kì bật laser, N2 chu kì ổn định và N3 chu kì tắt
laser. Xung laser được mô tả trong hình 3.3 với (N1, N2, N3) = (2, 6, 2). Số lượng hạt đưa
vào tương tác là hai triệu hạt.

Hình 3.3. Điện trường của xung laser 800nm với xung (2, 6, 2)

Động lượng của hai electron được xét dọc theo trục Ox trùng với phương phân cực
của laser. Khi này động lượng của hai electron có sự chênh lệch đáng kể, khi một electron

Footer Page 33 of 161.

Header Page 34 of 161.

28

có có giá trị động lượng gần 0 a.u. thì electron còn lại sẽ mang giá trị động lượng nằm
trong khoảng từ -1.5 a.u. đến 1.5 a.u. và ngược lại. Kết quả ghi nhận được phổ động
lượng trong trường hợp này phù hợp với kết quả thực nghiệm [1]. Kết quả cho thấy phổ
động lượng tương quan của hai electron phụ thuộc mạnh vào độ dài xung của laser.
Trong trường hợp laser có độ dài càng dài, số lượng ion hóa càng nhiều, phổ động lượng
tập trung chủ yếu ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba đối với cường độ laser là
21014W/cm2.
Tiếp theo, chúng tôi khảo sát phổ động lượng tương quan hai electron ion hóa phụ
thuộc vào độ dài xung bằng cách thay đổi độ dài N2 khi laser dùng trong chế độ ổn định,
N2 được chọn có các giá trị 2, 4, 6. Kết quả được cho trong hình 3.4.

Footer Page 34 of 161.

Header Page 35 of 161.

29

Hình 3.4. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước
sóng 800nm ứng với độ dài xung (N1, N2, N3) = (2, 2, 2) (a), (2, 4, 2) (b), (2, 6, 2) (c).

Trong trường hợp laser có độ dài xung (2, 2, 2) thì phổ chỉ tập trung trong góc phần
tư thứ ba, ngoài ra phổ không tập trung trên đường chéo chính, điều này cho thấy hai
eletron bay ra có vận tốc cuối cùng ngược chiều dương quy định (chiều của cường độ
điện trường) và sự khác biệt về động lượng tương quan giữa chúng là tương đối lớn.
Khi laser có độ dài (2, 4, 2) phổ động lượng tương quan của hai electron không chỉ
tập trung ở góc phần tư thứ ba mà còn tập trung ở góc phần tư thứ nhất, điều này cho
thấy sau khi xảy ra sự ion hóa, hai electron bay ra với vận tốc cuối cùng ngược chiều
hoặc cùng chiều dương quy định.
Khi độ dài xung là (2, 6, 2) phổ động lượng tương quan của hai electron không thay
đổi nhiều so với trường hợp (2, 4, 2), phần lớn tập trung ở góc phần tư thứ nhất và thứ
ba. Điều này chứng tỏ khi độ dài xung laser tăng lên thì phổ động lượng tương quan của
hai electron là ổn định và không có thay đổi nhiều. Hiện tượng này có thể được giải thích
dựa trên sự bão hòa của quá trình ion hóa kép. Tất cả các sự kiện ion hóa kép đều được
diễn ra trong vài chu kỳ đầu khi cường độ laser là ổn định. Để khẳng định giả thiết này,
tác giả sử dụng xung (2, 6, 2) và khảo sát phổ động lượng của hai electron trong các
trường hợp độ dài xung ở chế độ ổn định lần lượt thay đổi từ một đến sáu chu kỳ.

Footer Page 35 of 161.

Header Page 36 of 161.

30

Hình 3.5. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước
sóng 800nm ứng với độ dài xung (2,1) (a), (2,2) (b), (2,3) (c), (2,4) (d), (2,5) (e), (2,6) (f).

Trong hình vẽ 3.5 chúng tôi đã tiến hành khảo sát trường laser có cường độ 21014
W/cm2 với xung laser hình thang có độ dài khác nhau. Kết quả trên cho thấy trong 2 chu
kì đầu của xung laser, số lượng nguyên tử ion hóa kép không đáng kể. Các nguyên tử Ar
chủ yếu bị ion hóa nhiều trong giai đoạn các chu kì ổn định của xung laser. Ở hình (a),
số lượng nguyên tử bị ion hóa kép tương đối ít, ở hình (b), (c), (d), (e), (f), số lượng ion
hóa kép thay đổi đáng kể và bắt đầu ổn định, qua đó cho thấy được sự kiện ion hóa kép
không liên tục của nguyên tử Argon hầu như xảy ra trong giai đoạn chu kì thứ ba của
xung laser hình thang. Điều này chứng tỏ sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử
Ar chỉ xảy ra đối với laser có độ dài xung ngắn. Trong trường hợp xung laser càng dài,
sự kiện ion hóa kép xảy ra rất ít, hoàn toàn phù hợp với giả thiết đã nêu ở trên.

Footer Page 36 of 161.

Header Page 37 of 161.

31

3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ laser của NSDI của nguyên tử Argon.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả khảo sát quá trình ion hóa kép không
liên tục của nguyên tử Ar bởi xung laser hình thang khi thay đổi thông số cường độ của
trường laser. Động lượng của hai electron được xét dọc theo trục Ox trùng với phương
phân cực của laser.

Hình 3.6. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước
sóng 800nm với độ dài xung (2, 4, 2) mang cường độ 11014 W/cm2 (a), 21014 W/cm2 (b),
31014 W/cm2 (c).

Kết quả cho thấy phổ động lượng tương quan của hai electron phụ thuộc mạnh vào
cường độ của trường laser. Trong trường hợp xung laser có cường độ yếu 11014 W/cm2
(hình 3.5a), phổ động lượng tương quan hai electron ion hóa phân bố đều ở bốn góc phần

Footer Page 37 of 161.