Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Tải bản đầy đủ

Header Page 19 of 161.

13

trình đang khảo sát. Phương pháp cổ điển này có những ưu điểm so với phương pháp
TDSE như sau: thời gian tính toán nhanh, có thể khảo sát và phân tích được trạng thái
của electron tại một thời điểm bất kỳ trong suốt quá trình nguyên tử tương tác với trường
laser.
Trong mô hình tập hợp ba chiều cổ điển, sự phát triển của hệ hai electron được xác
định bởi phương trình chuyển động của Newton (đơn vị nguyên tử được sử dụng trong
toàn bộ quá trình tính toán).

d 2 ri
  Vne (ri )  Vee (r1 , r2 )  E (t )
dt 2

(2.1)

với chỉ số i kí hiệu cho hai electron và E (t ) là trường điện của laser.

Vne (r i ) là thế hút giữa ion – electron được xác định bằng:
Vne (ri )  

2
ri2  a 2

(2.2)

Vee (r 1 , r 2 ) là thế tương tác đẩy giữa electron – electron có dạng:
Vee (r1, r2 ) 

1
(r1  r2 )2  b2

(2.3)

Trong quá trình tính toán, thế Coulomb hạt nhân làm cho việc tính toán trở nên phức
tạp hơn vì mô hình này không ổn định và không thể kiểm soát được sự tự ion hóa của
các electron. Vì vậy để tránh xảy ra hiện tượng tự ion hóa và giải quyết sự kì dị của thế
Coulomb, các thông số làm mềm thế Coulomb được chọn là a2  1.5 a.u. và b2  0.05
a.u.. Lúc đầu, cả hai electron của mô hình nằm tại trạng thái có năng lượng -1.5911 a.u.
là tổng thế ion hóa của hai electron của nguyên tử Ar. Vị trí ban đầu của hai electron
được gán là (0.85, 0) và (-0.85, 0). Động năng khả dĩ của hai electron được phân bố ngẫu
nhiên giữa chúng trong không gian động lượng. Sau đó, hệ thống các phân tử được cho

Footer Page 19 of 161.

Header Page 20 of 161.

14

chuyển động tự do trong một khoảng thời gian đủ dài (200 a.u.) khi chưa có sự góp mặt
của trường laser để thu được phân bố tọa độ và động lượng ổn định của cả hai electron.
Đó là điều kiện ban đầu của hệ electron. Sau khi xác định được điều kiện ban đầu của hệ
electron, chúng tôi giải phương trình (2.1) cho từng electron một cách độc lập khi có sự
tồn tại của trường laser bằng phương pháp Runge – Kutta, được trình bày chi tiết trong
mục 2.2.
Để giải các phương trình trên, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge – Kutta. Và năng
lượng của hệ hai electron trong đoạn cuối của xung được xác định như sau:
2

v2 v v2
1
1
E1  x1  y1  z1 

2 2 2
x12  y12  z12  a2 2 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2  b2

(2.4)

2

E2 

với

vx22 vy 2 vz22
1
1
  

(2.5)
2 2 2
x22  y22  z22  a2 2 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2  b2

xi , yi , zi và vxi , vyi , vzi tương ứng là vị trí và vận tốc của electron i trong hệ tọa độ

Descartes. Vào cuối quá trình tương tác, năng lượng của hai electron được phân tích, khi
này nguyên tử được xem là đã bị ion hóa kép nếu năng lượng của cả hai electron ở cuối
quá trình đều mang giá trị dương. Điều đáng lưu ý trong phương pháp cổ điển này là cả
hai electron đều bị ion hóa bởi cơ chế ion hóa vượt rào, sự ion hóa xuyên ngầm không
được xét đến do đây là quá trình hoàn toàn cổ điển. Trong bài nghiên cứu này, trường
laser được sử dụng có cường độ đủ lớn để làm biến đổi mạnh thế ion hóa nên nguyên tử
có thể chuyển sang trạng thái có mức năng lượng dương theo cơ chế vượt rào. Để tạo ra
kết quả ổn định với sai số thống kê nhỏ, chúng tôi đã sử dụng tập hợp nguyên tử có kích
thước hai triệu hạt.

Footer Page 20 of 161.

Header Page 21 of 161.

15

2.2. Các phương pháp giải số
2.2.1. Bài toán Cauchy
Một phương trình vi phân bậc một có thể được viết dưới dạng y '  x   f  x, y  x  
mà ta có thể tìm được hàm y  x  từ đạo hàm của nó. Trong thực tế có vô số nghiệm thỏa
mãn phương trình trên, mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tùy ý cho trước. Khi cho
trước giá trị ban đầu

y0 của hàm y  x  tại x0 ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của

phương trình. Bài toán tìm hàm y  x  khi biết giá trị ban đầu trên được gọi là bài toán
Cauchy.
Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu và được mô tả như sau:

 y '  x   f  x, y  x  
a xb

y
a

y



0


(2.6)

với y  y  x  là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a,b],

y0 là giá trị ban đầu cho trước của

y  x  tại x0  a .
Đối với bài toán (2.6) ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của một số phương trình có
dạng đơn giản, còn đối với phương trình f  x, y  x   có dạng phức tạp thì phương pháp
giải rất phức tạp. Vì vậy việc tìm các phương pháp để giải bài toán Cauchy trên có ý
nghĩa quan trọng trong tính toán.
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (2.6) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng
nhau với bước nhảy h  b  a . Khi đó các điểm chia là
n

x0  a, xk  x0  k.h với

k  0,1,2...n , xn  b .
Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm

Footer Page 21 of 161.

xk được ký hiệu là yk .

Header Page 22 of 161.

16

2.2.2. Phương pháp Euler
Khai triển Taylor trên đoạn  xk 1, xk  đối với bài toán Cauchy ta được:
y  xk 1   y  xk   y '  xk  xk 1  xk     x2 



(2.7)

xk 1  xk  h và y '  xk   f  xk , yk  nên ta có:
y  xk 1   y  xk   hf  xk , yk 

(2.8)

trong đó k  0,1, 2,..., n 1
Công thức (2.8) trên được gọi là công thức Euler. Công thức này cho phép ta tính giá
trị của y  xk 1  khi đã biết y  xk  mà không cần phải giải một phương trình nào.
Trong thực tế, phương pháp trên chỉ sử dụng đến khai triển Taylor bậc nhất, vì vậy
sẽ không khỏi mắc phải sai số rất lớn. Để hạn chế được sai số trên, người ta đã sử dụng
phương pháp Euler cải tiến để hạn chế tối đa sai số mắc phải.
2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến
Ta có

y  xk 1   y  xk   y '  xk  xk 1  xk     x2 

Theo định lý Lagrange: giả sử f  x  là một hàm liên tục trong  a, b và khả vi trong

 a, b  thì có ít nhất một điểm c   a,b  để:
f c 

f b  f  a 
ba

Theo định lý Lagrange ta có: y  xk 1   y  xk   hf  ck , y  ck  
Như vậy ta có: f  ck , y  ck   

1
 f  xk , yk   f  xk 1 , yk 1 
2

Từ đó ta có công thức Euler cải tiến như sau:

Footer Page 22 of 161.

Header Page 23 of 161.

17

h
y  xk 1   y  xk    f  xk , yk   f  xk 1 , yk 1 
2

(2.9)

Trong công thức này giá trị y  xk 1  chưa biết. Do đó khi biết y  xk  ta phải tìm

y  xk 1  bằng phương trình (2.8) sau đó dùng (2.9) để tính y kn1 cụ thể là:
yk 1  yk  hf  xk , yk 
0



(2.10)



h
n
n1
yk 1  yk   f  xk , yk   f xk 1 , yk 1  


2

(2.11)

2.2.4. Phương pháp tích phân liên tiếp

 y '  x   f  x, y  x  

Xét bài toán Cauchy (2.6) 


 y  a   y0

Lấy tích phân bài toán trở thành y  x   y0 

a xb

x

 f t , y t   dt
x0

x

 y1  x   y0   f  t , y0  dt
x


x
 y2  x   y0  f  t , y1  dt

Xác định một dãy các hàm như sau: 
x

...
x

 yk  x   y0   f  t , yk 1  dt

x
0

0

0

Từ đó ta có thể tính được y1  x  từ

y0 và f  x, y  ; y2  x  từ y1 và f  x, y  …Từ đó

ta có được công thức của phương pháp Picard như sau:
x

yk  x   y0   f  t , yk 1  dt
x0

Footer Page 23 of 161.

(2.12)

Header Page 24 of 161.

18

2.2.5. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2
Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 2 sẽ được trình bày ở phần phụ lục.
2.2.6. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4
Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 4 sẽ được trình bày ở phần phụ lục.
2.2.7. Phương trình vi phân cấp cao
Xét phương trình vi phân bậc n sau:





n
n1
y   x   f x, y, y ',..., y   , a  x  b

(2.13)

Có các điều kiện đầu như sau:
 y  a   a1

 y  a   a2

...
 y ( n 1)  a   a
n


Đặt

 y1  y

 y2  y 

 y3  y
...

( n 1)

 yn  y

Lúc này phương trình vi phân bậc n được chuyển về n phương trình vi phân bậc nhất
như sau:
 y1  y

 y2  y 

 y3  y
...

( n 1)

 yn  y

Footer Page 24 of 161.

Header Page 25 of 161.

19

Ta thực hiện các bước tính toán như trên phương pháp Runge – Kutta sẽ tìm được
nghiệm của phương trình vi phân bậc n trên.
Trong các phương pháp số đã trình bày ở trên, phương pháp Euler là đơn giản nhất,
nhưng sai số lớn và không ổn định cao. Phương pháp Euler cải tiến cũng sử dụng đơn
giản nhưng sai số của phương pháp này nhỏ hơn so với phương pháp Euler. Nhược điểm
của phương pháp Euler cải tiến là bậc của độ chính xác giảm dần. Muốn có độ chính xác
cao đòi hỏi h phải nhỏ, trong phương pháp Runge – Kutta bậc của độ chính xác được
tăng lên, do đó phương pháp Runge – Kutta có sai số rất thấp. Ngoài ra trong phương
pháp Runge – Kutta không đòi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay
tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Vì vậy trong bài luận văn này, chúng
tôi đã sử dụng phương pháp Runge – Kutta để giải phương trình vi phân cấp cao.

Footer Page 25 of 161.

Header Page 26 of 161.

20

CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

3.1. Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán
Trước khi đưa vào giải cho bài toán ion hóa kép không liên tục của nguyên tử dưới tác
dụng của trường laser phân cực thẳng dựa vào mô hình tập hợp ba chiều cổ điển. Chương
trình tính toán sử dụng thuật toán Runge – Kutta cần phải được kiểm chứng độ tin cậy
thông qua việc giải một vấn đề cụ thể, đơn giản và có nghiệm giải tích để so sánh. Tác
giả chọn hệ dao động tắt dần cho mục đích này.
3.1.1. Bài toán dao động tắt dần
a) Định nghĩa
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm theo thời gian. Nguyên nhân gây nên
sự tắt dần của vật là do các phần tử môi trường đã tác dụng lực cản lên vật (lực ma sát
nhớt) khi vật dao động trong môi trường. Lực ma sát nhớt này làm cho cơ năng của vật
dao động chuyển thành nhiệt.
b) Nghiệm giải tích của bài toán
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ
cứng k, đầu kia cố định. Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và có hệ số ma sát trượt
là  . Hệ số ma sát này phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật và độ nhớt của môi
trường.
Lúc này vật chịu tác dụng của hai lực:
 Lực đàn hồi của lò xo bằng kx .
 Lực ma sát nhớt (lực cản) của môi trường, lực này tỉ lệ với vận tốc và ngược chiều
chuyển động v .
Áp dụng định luật II Newton cho cơ hệ, ta được:

Footer Page 26 of 161.

Header Page 27 of 161.

21

F  kx  v  ma

(3.1)

Hay ta có kx   x '  mx '' .
x ''


m

x '

k
x0
m

(3.2)



2 

m

Đặt 
thay vào phương trình trên ta được:
k
 
0

m


x '' 2 x ' 02 x  0

(3.3)

Đây được xem là phương trình vi phân chuyển động của vật với tần số dao động

0 

k
và hệ số tắt dần là    . Nếu coi hệ dao động gồm con lắc lò xo và môi
m
2m

trường nhớt xung quanh thì lực tác dụng của môi trường là nội lực. Dao động của hệ là
dao động tắt dần. Để khảo sát quá trình này, ta tìm nghiệm của phương trình vi phân:

x '' 2 x ' 02 x  0
2
2
Phương trình đặc trưng k  2 k  0  0

2
2
ta có biệt thức:  '    0
2
2
-  '  0    0  0    0 (ma sát lớn, hệ số ma sát  lớn)
2
2
-  '  0    0  0    0 (ma sát nhỏ, hệ số ma sát  nhỏ)

2
2
-  '  0    0  0    0

 Trường hợp ma sát lớn.

Footer Page 27 of 161.