Tải bản đầy đủ
Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Dùng định lý Fubini tính tích phân hai lớp

Tải bản đầy đủ

1.2. Nếu D xácđịnh bở bởi

g, h liên tục trên [a; b] thì:

Nhận xét:
1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng và có
cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo
biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].
2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.
3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng và có
cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo
biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].
4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.
Phương pháp (áp dụng định lý Fubini):
Bước 1: Vẽ miền lấy tích phân D
Bước 2: Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy)
12

không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền
đều không có phần trong chung.
Bước 3: Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu miền D
không có cùng 1 đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền
nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1 đường vào và 1 đường ra.
Bước 4: Áp dụng công thức (1.1) hoặc (1.2) tính tích phân hai lớp theo
phương Oy (hoặc Ox).

Ví dụ 1: Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

Trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ đến 1 của nửa dưới đường
tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:

Giải
Ta có miền D giới hạn bỏi các đường:
Theo phương Oy ta có
D là miền đều trong khoảng và có cùng đường vào và cùng đường ra y = 0.
Do đó ta có:
13

Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo phương Ox ta có:
D là miền đếu theo phương Ox trong đoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái
của D gồm 2 đoạn AB và BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường
vào) và đường bên phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình
khác nhau (kông cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ
nên ta phải chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường
thẳng song song với trục Ox: (BE): y = -1, (CD):
Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1 và y = 0, đường vào có
phương trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng và y = -1, đường vào có phương
trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến , đường vào có phương trình
và đường ra có phương trìnhh:
Vậy:

Ví dụ 2: Tính
,
D là miền giới hạn bởi các đường:
Giải

14

Toạ độ giao điểm của 2 đường là A(2;-2) và C(8;4) và miền D được xác định
như hình bên. Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng đường vào là và
cùng 1 đường ra là x=y+4
Do đó:

Vậy

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là
và có chung 1 đường ra là
Do đó, ta chia miền D thành 2 mền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có
chung 1 đường vào và 1 đường ra.
Do đó, theo phương Oy ta có:

Vậy ta có :

Nhận xét:
1.Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có
tính đối xứng, hay dựa vào đồ thi ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó,
nếu hàm f(x,y) là hàm lẽ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x,y) là hàm chẵn
15

theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1’ (D1’ là miền D1 ứng
với y>0)
Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x,y) =f(x,y) thì:

(Với D1 là phần của D ứng với y>0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(xy)= - f(x,-y) thì :

2.Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

(với D’ là phần của D ứng với x> 0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

3.Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) =
f(-x;-y) thì:
(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)
4.Giả sử và f(x,y)=h(x).g(y) thì:
(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích
phân đơn)
5. Kết quả quan trọng:

2. Đổi biến số trong tích phân hai lớp
Phương pháp đổi biến số:
2.1. Phép đổi biến:
Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxy sang tọa
 x = x(u , v )

độ cong O’uv theo công thức biến đổi  y = y (u, v) (*) thỏa mãn ba điều kiện sau:

16

a) Các hàm x(u,v) và y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền ảnh D ’
(trong tọa độ O’uv)
b) Jacôbiên của phép biến đổi không triệt tiêu trong D’:
J=

xu'
yu'

xv'
≠0
yv'

c) Phép biến đổi (*) đơn trị một – một (nghĩa là các điểm khác nhau của D ’
tương ứng với các điểm khác nhau của D )
Trong trường hợp này tích phân hai lớp được tính theo công thức:
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x (u , v), y (u , v)]. | J | dudv
D′

D

2.2 Đổi biến sang tọa độ cực:
 x = rcosϕ

Đặt:  y = r sin ϕ trong toàn không gian có

0 ≤ r < +∞

0 ≤ ϕ < 2π thì |J|= r và có công

thức:
I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f [r cos ϕ , rsinϕ ].rdrdϕ
D′

D

Nhận xét:

1) Nếu miền lấy tích phân là miền D = {( r , ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r (ϕ1 ) ≤ r ≤ r (ϕ2 )} thì
ϕ2

r (ϕ 2 )

ϕ1

r (ϕ1 )

I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ
D



f (rcosϕ , r sin ϕ )dr

(trong đó r (ϕ ) là phương trình đường cực của đường cong giới hạn miền D)
2) Đổi biến sang tọa độ cực suy rộng đối với miền D là hình elíp
 x = x0 + arcosϕ
( x − x0 )2 ( y − y0 )2

+
=
1
y = y0 + br sin ϕ
a2
b2
: 
trong toàn không gian có

Khi đó |J|= |ab|r và

0 ≤ r < +∞

0 ≤ ϕ < 2π .

I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x 0 + ar cos ϕ , y0 +brsinϕ ]. ab rdrdϕ
D

D′

(Đường tròn là một trường hợp riêng của hình elíp; thực chất, có thể coi đổi biến
 x = x0 + au

y = y0 + bv
sang tọa độ cực suy rộng là 2 lần đổi biến 


u = rcosϕ

v = r sin ϕ

).

Các bước tiến hành áp dụng phép đổi biến tính tích phân:
17