Tải bản đầy đủ
Chương II: CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ ỨNG DỤNG

Chương II: CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ ỨNG DỤNG

Tải bản đầy đủ

1.2. Nếu D xácđịnh bở bởi

g, h liên tục trên [a; b] thì:

Nhận xét:
1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng và có
cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo
biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].
2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.
3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng và có
cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo
biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là
đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].
4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.
Phương pháp (áp dụng định lý Fubini):
Bước 1: Vẽ miền lấy tích phân D
Bước 2: Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy)
12

không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền
đều không có phần trong chung.
Bước 3: Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu miền D
không có cùng 1 đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền
nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1 đường vào và 1 đường ra.
Bước 4: Áp dụng công thức (1.1) hoặc (1.2) tính tích phân hai lớp theo
phương Oy (hoặc Ox).

Ví dụ 1: Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

Trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ đến 1 của nửa dưới đường
tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:

Giải
Ta có miền D giới hạn bỏi các đường:
Theo phương Oy ta có
D là miền đều trong khoảng và có cùng đường vào và cùng đường ra y = 0.
Do đó ta có:
13

Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo phương Ox ta có:
D là miền đếu theo phương Ox trong đoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái
của D gồm 2 đoạn AB và BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường
vào) và đường bên phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình
khác nhau (kông cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ
nên ta phải chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường
thẳng song song với trục Ox: (BE): y = -1, (CD):
Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1 và y = 0, đường vào có
phương trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng và y = -1, đường vào có phương
trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến , đường vào có phương trình
và đường ra có phương trìnhh:
Vậy:

Ví dụ 2: Tính
,
D là miền giới hạn bởi các đường:
Giải

14

Toạ độ giao điểm của 2 đường là A(2;-2) và C(8;4) và miền D được xác định
như hình bên. Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng đường vào là và
cùng 1 đường ra là x=y+4
Do đó:

Vậy

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là
và có chung 1 đường ra là
Do đó, ta chia miền D thành 2 mền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có
chung 1 đường vào và 1 đường ra.
Do đó, theo phương Oy ta có:

Vậy ta có :

Nhận xét:
1.Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có
tính đối xứng, hay dựa vào đồ thi ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó,
nếu hàm f(x,y) là hàm lẽ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x,y) là hàm chẵn
15

theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1’ (D1’ là miền D1 ứng
với y>0)
Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x,y) =f(x,y) thì:

(Với D1 là phần của D ứng với y>0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(xy)= - f(x,-y) thì :

2.Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

(với D’ là phần của D ứng với x> 0)
Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

3.Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) =
f(-x;-y) thì:
(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)
4.Giả sử và f(x,y)=h(x).g(y) thì:
(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích
phân đơn)
5. Kết quả quan trọng:

2. Đổi biến số trong tích phân hai lớp
Phương pháp đổi biến số:
2.1. Phép đổi biến:
Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxy sang tọa
 x = x(u , v )

độ cong O’uv theo công thức biến đổi  y = y (u, v) (*) thỏa mãn ba điều kiện sau:

16

a) Các hàm x(u,v) và y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền ảnh D ’
(trong tọa độ O’uv)
b) Jacôbiên của phép biến đổi không triệt tiêu trong D’:
J=

xu'
yu'

xv'
≠0
yv'

c) Phép biến đổi (*) đơn trị một – một (nghĩa là các điểm khác nhau của D ’
tương ứng với các điểm khác nhau của D )
Trong trường hợp này tích phân hai lớp được tính theo công thức:
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x (u , v), y (u , v)]. | J | dudv
D′

D

2.2 Đổi biến sang tọa độ cực:
 x = rcosϕ

Đặt:  y = r sin ϕ trong toàn không gian có

0 ≤ r < +∞

0 ≤ ϕ < 2π thì |J|= r và có công

thức:
I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f [r cos ϕ , rsinϕ ].rdrdϕ
D′

D

Nhận xét:

1) Nếu miền lấy tích phân là miền D = {( r , ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r (ϕ1 ) ≤ r ≤ r (ϕ2 )} thì
ϕ2

r (ϕ 2 )

ϕ1

r (ϕ1 )

I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ
D



f (rcosϕ , r sin ϕ )dr

(trong đó r (ϕ ) là phương trình đường cực của đường cong giới hạn miền D)
2) Đổi biến sang tọa độ cực suy rộng đối với miền D là hình elíp
 x = x0 + arcosϕ
( x − x0 )2 ( y − y0 )2

+
=
1
y = y0 + br sin ϕ
a2
b2
: 
trong toàn không gian có

Khi đó |J|= |ab|r và

0 ≤ r < +∞

0 ≤ ϕ < 2π .

I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [x 0 + ar cos ϕ , y0 +brsinϕ ]. ab rdrdϕ
D

D′

(Đường tròn là một trường hợp riêng của hình elíp; thực chất, có thể coi đổi biến
 x = x0 + au

y = y0 + bv
sang tọa độ cực suy rộng là 2 lần đổi biến 


u = rcosϕ

v = r sin ϕ

).

Các bước tiến hành áp dụng phép đổi biến tính tích phân:
17

Bước 1: Phép biến đổi toạ độ
Bước 2: Áp dụng công thức (2.1) hoặc (2.2)
Bước 3: Tính toán và kết luậ
Ví dụ 3: Tính

Giải:
Bước 1: Chuyển sang toạ độ cực:

; biến thiên từ 0 đến 2

Bước 2: Áp dụng (2.2)
Bước 3: Tính toán:

Ví dụ 4: Tính

D là hình bình hành giới hạn bởi các đường x+2y=2; x+2y=4; 3x-y=0; 3x-y=3
Giải

Ta có: 2

Theo công thức đổi biến số (1)

Ví dụ 5: Sử dụng tích phần kép để tìm diện tích của miền được đóng kín bởi
một lần lặp của đường hoa hồng 4 cách
Giải
18

Từ phác hoạ của đường cong trên hình 8, ta thấy một lần lặp cho miền

Vì thế diện tích là

3. Một số ứng dụng của tích phân hai lớp
3.1 Tính diện tích miền phẳng D
Theo tính chất (2) (mục 2.3, chương 1):

là diện tích s(D) của miền phẳng D.
Ví dụ 6: Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường

Giải:
Dùng toạ độ cực:

Đường

r= 2

Đường
2

3.2 Tính thể tích của miền trong không gian
Trường hợp 1: Hình trục cong
19

Hình trụ cong giới hạn mặt cong z=f(x,y) liên tục và mặt z=0, xung quanh bởi
mặt trụ thẳng đứng cắt mặt z=0 theo một miền D.Khi đó:

Trường hợp 2: Hình bất kì
Hình gới hạn bởi các mặt cong z=(x,y), z=(x,y), hình vuông góc xuống mặt
Oxy là miền D đó:

Nhận xét:
a) Tích phân trên có thể tính trong toạ độ vuông góc hoặc toạ độ cực.
b) Miền có tính đối xứng thì chỉ cần tính một phần rồi suy ra toàn thể.
c) Có khi phải chia miền thành các phần nhỏ rồi cộng lại
Ví dụ7:
Tính thể tích khối giới hạn của mặt y= 1+, z=3x, y=5, z=0, và nằm trong góc
phân tán thứ nhất.
Giải:
Giao của hai mặt y=1+ và y=5
1+ y=5 =4 x=2
Nhưng thuộc góc phân tán thứ nhất nên x=2
0
1+
Hàm lấy tích phân là z=3x
Thể tích của khối là:

3.3 Tính diện tích mặt cong
Mặt có đơn trị có phương trình là: z=f(x,y); f(x,y) liên tục cùng các đạo hàm
riêng. Diện tích của mặt cong là:
20

D là hình chiếu vuông góc của mảnh lên mặt phẳng xOy
-

Trường hợp mặt cong có phương trình:y=(y,z) thì:

D là hình chiếu mặt cong lên mặt yOz.
-

Trường hợp mặt cong có phương trình:y=(x,z) thì:

D là hình chiếu mặt cong lên mặt Oxz.
-

Nếu mặt cong cho dưới dạng hàm ẩn F (x,y,z) =0 thì:

D là hình chiếu của mặt cong lên mặt z=0.
Ví dụ 8: Cho mặt cầu và mặt trụ: . Tính diện phần mặt cầu nằm bên trong mặt
cầu.
Giải:
Do tính đối xứng nên chỉ cần xét mặt nằm trong phần tám thứ nhất:
Ta có: z=
Ta chỉ xét: z=

D là nữa hình tròn nằm trong phần tư thứ nhất mặt 0xy

.
21

Chương III: BÀI TẬP
A. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Sử dụng định lý Fubini, tính tích phân hai lớp
1.1) Xác định cận của tích phân với miền xác định bởi đường y=0, y=x, x=2
1.2) Xác định cận của tích phân với miền xác định bởi đường y=0, y= , x+y=2

D hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng x+y=1, xy=1, x+y=3, xy=1

D là hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=x+1, y=x y= và
y=
22