Tải bản đầy đủ
Gi_i Bt c≤ l_i gi_i gh hs

Gi_i Bt c≤ l_i gi_i gh hs

Tải bản đầy đủ

Chủ đề 5: Đạo hàm

The best or nothing

CHỦ ĐỀ 5: ĐẠO HÀM
Khái niệm đạo hàm
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
STUDY TIP

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và x0   a; b  . Nếu tồn tại giới

Nếu x  x  x0

y  f  x   f  x0 

 f  x0  x   f  x0 

thì f   x0   lim

x  x0

y
x

+ x gọi là số gia của đối
số tại điểm x0 .
+ y gọi là số gia của hàm
số tương ứng.

f  x   f  x0 

hạn (hữu hạn) lim

x  x0

x  x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của

hàm số y  f  x  tại điểm x0 .
Kí hiệu: f   x0  hoặc y  x0  .
Vậy f   x0   lim

f  x   f  x0 
x  x0

x  x0

.

2. Đạo hàm bên trái, bên phải
a) Đạo hàm bên trái

 

f  x0  lim

f  x   f  x0 
x  x0

x  x0

 lim

y
x

 lim

y
x

x 0

trong đó x  x0 được hiểu là x  x0 và x  x0 .
b) Đạo hàm bên phải

 

f  x0  lim

f  x   f  x0 

x  x0

x  x0

x 0

trong đó x  x0 được hiểu là x  x0 và x  x0 .

 

Nhận xét: Hàm số f  x  có đạo hàm tại x0  f  x0

 

 

và f  x0 tồn tại và bằng

 

nhau. Khi đó: f  x0  f  x0  f   x0  .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
a) Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  a; b  nếu có đạo
hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
STUDY TIP
- Hàm số liên tục tại điểm
x0 có thể không có đạo
hàm tại điểm đó.
- Hàm số không liên tục tại
x0 thì không có đạo hàm

b) Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b nếu có đạo
hàm trên khoảng  a; b  và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại

b.

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
- Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.

tại điểm đó.

B. Các dạng toán tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp:

1. Tính đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x 0 bằng định nghĩa
Cách 1:

LOVEBOOK.VN | 280

Công Phá Toán – Lớp 11

- Tính lim

More than a book

f  x   f  x0 

(1)

x  x0

x  x0

- Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x 0 và ngược lại thì hàm số
không có đạo hàm tại x0 .
Cách 2: Tính theo số gia

- Cho x 0 một số gia x : x  x  x0  y  f  x0  x   f  x0  .
- Lập tỉ số

y
.
x

y
.
x 0 x
2. Mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm
- Tính giới hạn lim

- Hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x0  lim f  x   f  x0   lim y  0 .
x x0

x 0

- Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x 0  f  x  liên tục tại x0 .
- Hàm số y  f  x  liên tục tại x 0 chưa chắc f  x  có đạo hàm tại x0 .
Ví dụ 1: Cho hàm số f  x   x  1. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0  1 .
A.

2
.
4

B.

2
.
2

C. 2 2.

D.

2
.
3

Đáp án A.
STUDY TIP
Nhân liên hợp:
a b

a b

ab
a b

a  b2
a b

Lời giải:
f  x   f  1

Cách 1: Xét lim

x 1

x 1



 lim
x 1

 x  1 

x1  2
x 1

 lim
x 1

x 1
x1  2



 lim
x 1

1
x1  2



1
2 2

2
.
4



Cách 2:

y  f  x  1  f 1  x  2  2
Nhận xét

y
x  2  2

x
x

Bạn đọc giải theo cách 1
tỏ ra đơn giản và nhanh
hơn cách 2.

lim

x 0

y
x  2  2
 lim
 lim

x

0
x 0
x
x
x



x
x  2  2



 lim

x  0

1
2  x  2



2
.
4

Ví dụ 2: Khi tính đạo hàm của hàm số f  x   x2  5x  3 tại x0  2, một học
sinh đã tính theo các bước sau:
STUDY TIP
Phương trình bậc 2:

ax2  bx  c  0 có 2 nghiệm
x1 , x2

 a  x  x1  x  x2   0 

Bước 1: f  x   f  2   f  x   11 .
Bước 2:

f  x  f 2
x2

Bước 3: lim
x2



x 2  5 x  3  11  x  2  x  7 

 x7 .
x2
x2

f  x  f 2
x2

 lim  x  7   9. Vậy f   2   9.
x2

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Tính toán đúng.

Đáp án D.
LOVEBOOK.VN| 281

Công Phá Toán – Lớp 11

More than a book

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
A. Lý thuyết
1. Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Định nghĩa:

y
(C)

Nếu cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn M0T . Khi điểm M di chuyển trên

M
M0

C 

T





của đường cong  C  tại điểm M 0 . Điểm M0 x0 ; f  x0  được gọi là tiếp

φ
O

và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến

x

điểm.

Định lý:

Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên  a; b  và  C  là đồ thị
của hàm số. Đạo hàm của hàm số f  x  tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp

STUDY TIP

- Hệ số góc k  f   x0  .
- Nếu cho x0 thì thế vào

y  f  x  tìm y 0 .
- Nếu cho y0 thì thế vào





tuyến M0T của  C  tại M0 x0 ; f  x0  .

2. Phương trình tiếp tuyến
a) Tiếp tuyến tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  : y  f  x  tại điểm M0  x0 ; y0   C  :

y  f   x0  x  x0   y0

y  f  x  tìm x0 .

b) Tiếp tuyến biết hệ số góc
STUDY TIP
*Tiếp tuyến d// : y  ax  b
 k  a.

*Tiếp tuyến d   : y  ax  b

- Hệ số góc k của tiếp tuyến: k  f   x0  (*)
Giải phương trình (*) ta tìm được hoành độ tiếp điểm x 0 và thế vào phương
trình y  f  x  tìm tung độ y 0 .

 k. a  1 .

- Khi đó phương trình tiếp tuyến: y  k  x  x0   y0

* k  tan  , với  là góc

c) Tiếp tuyến đi qua một điểm

d

Lập phương trình tiếp tuyến d với  C  biết d đi qua M  xM ; yM  .

giữa d với tia Ox .

Phương pháp:

- Gọi M0  x0 ; y0   C  là tiếp điểm.

STUDY TIP
Điểm

M  x0 ; y0 

có thể

thuộc hoặc không thuộc
đường cong C  .

- Phương trình tiếp tuyến tại M 0 : y  f   x0  x  x0   y0
- Vì đường thẳng d đi qua M nên yM  y0

d
 f   x  x
0

M

 x0  . Giải

phương trình ta tìm được x 0 và y 0 .

B. Các dạng toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 có đồ thị  C  . Phương trình tiếp tuyến của

C  tại điểm M  1; 3 là:
A. y  3x.

B. y  x  3.

C. y  9x  6.

D. y  9x  6.

Đáp án A.
Lời giải:
Tập xác định: D 
y  3 x 2  6 x
LOVEBOOK.VN| 321

Công Phá Toán – Lớp 11

More than a book

Chủ đề 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Phép biến hình
(C)

1. Định nghĩa
M

Phép biến hình là một quy tắc để mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định
được một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy.

O

2. Kí hiệu và thuật ngữ
Gọi P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và một phép biến hình F :
F:PP

M’

M  M  F  M 

STUDY TIP
Với mỗi điểm M, ta xác
định điểm M’ trùng với M
ta cũng được phép biến
hình gọi là phép đồng
nhất.

- Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F hay M là điểm
tạo ảnh của điểm M .
- Nếu H là một hình nào đó thì H’(gồm các điểm M là ảnh của M 
H) được gọi là ảnh của H qua phép biến hình F.

3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G. Gọi M là điểm bất kì trong mặt phẳng. M là
ảnh của M qua F , M  là ảnh của M qua G.
Ta nói M  là ảnh của M trong tích của hai phép biến hình F và G. Kí hiệu

G.F



M   G F  M 

M

F


G

M’

M’’

G.F

II. Phép tịnh tiến
A. Lý thuyết
M’

1. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho vectơ v. Phép biến hình biến điểm M thành điểm

M sao cho MM  v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .

M
STUDY TIP
Phép tịnh tiến theo vectơ
0 gọi là phép đồng nhất

Kí hiệu: Tv ( v là vectơ tịnh tiến)

Tv  M   M  MM  v

2. Tính chất:

Tv  M   M  M  M 

Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm

M và N  thì MN  MN và từ đó suy ra MN  MN.
A’
O’
M’

M

N

N’

d’

A

C


B’

d
B

O

R

R

C
LOVEBOOK.VN| 329

Chủ đề 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
STUDY TIP
Phép tịnh tiến biến ba
điểm thẳng hàng thành ba
điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba
điểm đó.

The best or nothing

Tính chất 2:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc
trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác
thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ
y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v   a; b  , M  x; y  . Khi đó phép tịnh

M’

y’

 x  x  a
tiến theo vec tơ v : Tv  M   M  x; y có biểu thức tọa độ: 
 y  y  b

b
y

O

M

a

x

x’

x

B. Bài tập minh họa
Dạng 1

Các bài toán khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của
phép tịnh tiến
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép tịnh tiến.
- Ứng dụng phép tịnh tiến để giải các bài toán hình học khác…

Ví dụ 1: Kết luận nào sau đây là sai?

STUDY TIP
Định nghĩa phép tịnh tiến:
Tv  M   M  MM  v

A. Tu  A   B  AB  u.

B. TAB  A   B.

C. T0  B  B.

D. T2 AB  M   N  AB  2 MN.

Đáp án D.
Lời giải
Ta có: T2 AB  M   N  MN  2 AB. Vậy D sai.
Ví dụ 2: Giả sử Tv  M   M; Tv  N   N. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MN  MN.
C. MM  NN.

M’

N’

B. MM  NN.
D. MNMN  là hình bình hành.

Đáp án D.
Lời giải

M

N

- Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng.
- MNMN  không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến
biến d1 thành d2 .
A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

Đáp án A.
Lời giải

LOVEBOOK.VN | 330

D. Vô số.

Công Phá Toán – Lớp 11

More than a book

C. Bài tập rèn luyện kỹ năng
Dạng 1: Các bài toán khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép tịnh tiến
Câu 1: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng

Câu 11: Cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M, N

thành chính nó?

lần lượt là trung điểm của AD, DC. Phép tịnh tiến

A. 0.

B. 1.

C. 2.

theo vectơ nào sau đây biến AMI thành MDN .

D. Vô số.

Câu 2: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường tròn
thành chính nó?
A. 0.

B. NI.

C. AC.

D. MN.

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD , có bao nhiêu

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

phép tịnh tiến biến đường thẳng AB thành đường

Câu 3: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông
thành chính nó?
A. 0.

A. AM.

thẳng CD và đường thẳng AD thành đường thẳng

BC ?

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

A. 0.

Câu 4: Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào sau
đây?

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 13: Cho đường tròn  O  và hai điểm A, B. Một

A. Khoảng cách giữa hai điểm.

điểm M thay đổi trên đường tròn  O  . Quỹ tích

B. Thứ tự 3 điểm thẳng hàng.

điểm M  sao cho MM  MA  MB là:

C. Tọa độ của điểm.
D. Diện tích.
Câu

5:

Với

hai

điểm

A, B

phân

biệt



 
 O   .

 
 O   .

A.  O   TAB O  .

B. O   TAM O  .

C.  O   TBA

D. O   TBM

Tv  A   A, Tv  B   B với v  0. Kết luận nào sau

Câu 14: Cho tứ giác lồi ABCD có AB  BC  CD  a,

đây đúng?

BAD  75 và ADC  45. Khi đó độ dài AD là:

A. AB  v.

B. AB  AB.

A. a 2  5 .

B. a 3.

C. AB  v.

D. AB  AB  0.

C. a 2  3 .

D. a 5.

Câu 6: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với

Câu 15: Cho tứ giác ABCD có AB  6 3, CD  12,

nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến theo vectơ v  0

A  60, B  150, D  90. Tính độ dài BC.

biến d1 thành d2 ?
A. 0.

B. 1.

A. 4.
C. 2.

D. Vô số.

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến
TAB  AD biến điểm A thành điểm:

B. 5.

C. 6.

D. 2.

Câu 16: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành

ABCD sao cho

AC BD

. Khi đó quỹ tích đỉnh C
AD AB

là:

A. A  đối xứng với A qua C.
B. A  đối xứng với D qua C.

A. là đường tròn tâm A , bán kính là AB 3.

C. O là giao điểm của AC và BD.

B. là đường tròn tâm A , bán kính là AC.

D. C.

C. là đường tròn tâm A , bán kính là AD.

Câu 8: Cho ABC có trọng tâm G. TAG  G   M. Khi

D. là đường tròn tâm A , bán kính là AD 2.
Câu 17: Cho hai đường tròn bán kính R cắt nhau tại

đó điểm M là:
A. M là trung điểm BC.

M, N, đường trung trực của MN cắt các đường

B. M trùng với A.

tròn tại A và B sao cho A, B nằm cùng một phía

C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BGCM.

với MN . Giá trị MN 2  AB2 bằng bao nhiêu?

D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCGM.

A. 2 R2 .

B. 3R2 .

C. 4 R2 .

D. 6 R2 .

Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh

Câu 18: Hai đường tròn bán kính R tiếp xúc ngoài

của AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ AB.

với nhau tại K . Trên đường tròn này lấy điểm A,

A. ABO.

B. BCO.

C. CDO.

D. DEO.

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm I . Kết luận
nào sau đây sai?

trên đường tròn kia lấy điểm B sao cho AKB  90.
Độ dài AB bằng bao nhiêu?
A. R.

B.

2R.

C.

3R.

D. 2 R.

A. TDC  A   B.

B. TCD  B   A.

Câu 19: Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các

C. TDI  I   B.

D. TIA  I   C .

đường cao BK và BH của nó biết KH  3, BD  5.
LOVEBOOK.VN| 337

Công Phá Toán – Lớp 11

More than a book

Phép dời hình và hai hình bằng nhau
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
STUDY TIP
Phép dời hình F :

F  M   M
F  N   N

 MN   MN

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nhận xét:
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép
quay là những phép dời hình.
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
cũng là một phép dời hình.

STUDY TIP
a) Nếu phép dời hình
F : ABC  ABC  thì nó

2. Tính chất
Phép dời hình:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự

cũng biến trọng tâm, trực

giữa chúng.

tâm, tâm các đường tròn nội,

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn

ngoại tiếp của ABC thành
tương ứng của ABC .

thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

b) Phép dời hình biến đa

c) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

giác n cạnh thành đa giác n

d) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

cạnh, biến đỉnh thành đỉnh,

3. Hai hình bằng nhau

biến cạnh thành cạnh.

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này
thành hình kia

B. Các bài toán về phép dời hình
Ví dụ 1: Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?
A. Phép biến mọi điểm M thành điểm M sao cho O là trung điểm MM ,
với O là điểm cố định cho trước.
STUDY TIP
Một quy tắc là phép dời
hình khi:
- Với mỗi một điểm M luôn
tồn tại ảnh và duy nhất
qua quy tắc tương ứng.
- Bảo toàn khoảng cách qua
quy tắc đó.

B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d.
C. Phép biến mọi điểm M thành điểm O cho trước.
D. Phép biến mọi điểm M thành điểm M là trung điểm của đoạn OM , với

O là một điểm cho trước.
Đáp án A.
Lời giải
Với mọi điểm A , B tương ứng có ảnh A, B qua phép biến hình với quy tắc O
là trung điểm tương ứng  AB  AB  Đây là phép dời hình.
Ví dụ 2: Xét hai phép biến hình sau:
(I) Phép biến hình F1 : M1  x1 ; y1   M1   y1 ; x1 
(II) Phép biến hình F2 : M2  x2 ; y2   M 2  2 x2 ; 2 y2 
A. Chỉ phép biến hình (I).
B. Chỉ phép biến hình (II).
C. Cả hai phép biến hình (I) và (II).
D. Cả hai phép biến hình (I) và (II) đều không là phép dời hình.
Đáp án A.
Lời giải
LOVEBOOK.VN| 363

Công Phá Toán – Lớp 11

More than a book

Phép vị tự
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
N

Cho điểm O cố định và số k không đổi, k  0 . Phép biến hình biến mỗi

M
P

điểm M thành điểm M’ sao cho OM  kOM được gọi là phép vị tự tâm
O, tỉ số k.

P’

O

Kí hiệu: VO ,k  ( O là tâm vị tự,

M’

k

là tỉ số vị tự)

VO ,k   M   M  OM  kOM

N’

Nhận xét:
- Khi k  0, M và M’ nằm cùng phía đối với điểm O
- Khi k  0, M và M’ nằm khác phía so với điểm O
- Khi k  1, M và M’ đối xứng nhau qua tâm O nên VO ,1  Đ0
- Khi k  1  M  M phép vị tự VO ,1 trở thành phép đồng nhất

2. Tính chất

N’

Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N tùy ý theo thứ tự

M

thành M , N  thì MN   kMN và MN  k MN.

O

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
N

M’

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa chúng.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc
bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R.

A’
A

O

A’

A’
A

B

B’

A

B’

B

I’
I

O
C

C’

C

O
C’

STUDY TIP

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

VO , k  : M  x; y   M   x; y 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V I , k  ; I  x0 ; y0 

 x  kx

 y  ky
(với O là gốc tọa độ)


 x   kx   1  k  x0
(1)
V I , k  : M  x; y   M   x ; y    IM   kIM  

 y   ky   1  k  y0

LOVEBOOK.VN| 369

Chủ đề 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

The best or nothing

Đọc thêm: Tâm vị tự của hai đường tròn
Định lý: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường
tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự như thế được gọi là
tâm vị tự của hai đường tròn.
M’

M’

M’

M
R’ M

M

R

R

I

O

R’

R’

R
I’

I

I

O1

O1

M’’

Hình a

I’

M’’

Hình c

Hình b
Cho hai đường tròn  I ; R  và  I ; R các trường hợp:
TH1: Nếu I  I  , thì phép vị tự tâm I tỉ số 
đường tròn  I ; R  (Hình a).

R
biến đường tròn  I ; R  thành
R

TH2: Nếu I  I  và R  R thì phép vị tự tâm O tỉ số k 

R
và phép vị tự tâm
R

R
sẽ biến  I ; R  thành  I ; R (Hình b).
R
Ta gọi O là tâm vị tự ngoài, O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
O1 tỉ số k1  

TH3: Nếu I khác I  và R  R thì có một phép vị tự tâm O1 tỉ số k  
biến đường tròn  I ; R  thành  I ; R hay phép đối xứng tâm (Hình c).

R
 1
R

B. Các dạng toán về phép vị tự
Dạng 1

Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép vị tự.
- Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép vị tự.
- Tìm quỹ tích điểm thông qua phép vị tự.
- Các yếu tố liên quan phép vị tự là thẳng hàng, tỉ số không đổi…từ đó
ứng dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học khác…
Ví dụ 1: Cho điểm O và k  0. Gọi M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số
k. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
B. OM  kOM
C. Khi k  1 phép vị tư là phép đối xứng tâm.
D. M  VO ,k   M  V

1
O, 
 k

Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 370

 M  .

Chủ đề 7: ĐT và MP trong không gian. Quan hệ song song

The best or nothing

CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG
Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
A. Lý thuyết
1. Mặt phẳng
Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt
phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp

đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ như mặt phẳng  P  , Q ,    ,  ...

Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hoặc một miền góc
và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

P

Đường thẳng và mặt phẳng là tập hợp các điểm. Do đó:
- Nếu điểm A thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu A  a và đôi khi còn nói
rằng đường thẳng a đi qua điểm A.
P

- Nếu điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu A    và đôi khi còn nói
rằng mặt phẳng   đi qua điểm A.

- Nếu đường thẳng a chứa trong mặt phẳng   , ta kí hiệu a     và đôi
khi còn nói rằng mặt phẳng   đi qua (hoặc chứa) đường thẳng a.

2. Quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian
- Hình biểu diễn của một đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn
thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Hai đoạn thẳng
song song và bằng nhau thì phải được vẽ song song và bằng nhau. Trung điểm
của một đoạn thẳng phải được lấy ngay tại điểm chính giữa của đoạn thẳng đó.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn
cho đường bị che khuất.

3. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
- Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Như vậy, một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bởi một trong
các cách thức sau:
- Mặt phẳng đó đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Kí hiệu là

mp ABC  .
- Mặt phẳng đó đi qua một đường thẳng a và một điểm A không thuộc
đường thẳng a. Kí hiệu: mp  A, a  .

- Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b. Kí hiệu:

mp  a, b .

- Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng song song a, b.
LOVEBOOK.VN | 384

Công Phá Toán – Lớp 11
B

Nếu có một số điểm cùng
thuộc một mặt phẳng thì
ta nói rằng các điểm đó
đồng phẳng. Tính chất 2
cho thấy rằng ba điểm bất
kì thì luôn luôn đồng
phẳng. Nhưng đối với
bốn điểm, tính chất 3 cho
thấy rằng điều tương tự
không phải bao giờ cũng
đúng.

b

a

C

Nhận xét

a

b

a

A

A

More than a book

- Tính chất 3: Trong không gian có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc bất cứ
mặt phẳng nào.
- Tính chất 4: Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung
thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của
hai mặt phẳng đó.
- Tính chất 5: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tính chất 6: Trong mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của
hình học phẳng đều đúng.

3. Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
a) Vị trí tương đối của một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng   . Có thể xảy ra một trong các khả năng

d

sau:
- Đường thẳng d và mặt phẳng   không có điểm chung. Trong trường
hợp này ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng   , kí hiệu là

d

d //    .
- Đường thẳng d và mặt phẳng   có đúng một điểm chung. Trong
trường hợp này ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng   tại điểm A, ta kí

d

hiệu d      A .
- Đường thẳng d và mặt phẳng

 

có nhiều hơn một điểm chung.

Trường hợp này ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng   , ta kí
hiệu d     .
b) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng phân biệt   và    . Có thể xảy ra một trong các khả năng
sau:

α

- Hai mặt phẳng   và  không có điểm chung. Trong trường hợp này

ta nói các mặt phẳng   và  song song với nhau, kí hiệu    //  .

β

- Hai mặt phẳng   và  có ít nhất một điểm chung. Trong trường
α

hợp này ta nói các mặt phẳng   và  có phần chung là một đường
thẳng, giả sử đường thẳng đó là d, ta kí hiệu      d.

β
d

Đường thẳng d được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Như vậy, việc xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm cùng
thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt đó. Ngoài ra, nếu biết được rằng ba
điểm phân biệt cùng thuộc đồng thời hai mặt phẳng thì ba điểm đó phải nằm
trên một đường thẳng.
LOVEBOOK.VN| 385