Tải bản đầy đủ
II. TỔNG HỢP HAI DĐĐH CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ

II. TỔNG HỢP HAI DĐĐH CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ

Tải bản đầy đủ

1. Phương pháp lượng giác.
• x = x1 + x2
• = a[cos(ωt + ϕ1) + cos(ωt + ϕ2)]
ϕ1 + ϕ2 

∆ϕ
 ωt +
÷
• = 2acos
.cos
2


2
• + Biên độ của dao động tổng hợp :
∆ϕ
2acos

A=
2
+ Pha ban đầu :
ϕ1 + ϕ 2
∆ϕ
• Nếu cos
> 0 ϕthì=
2
2

∆ϕ
• Nếu cos2

ϕ1 + ϕ 2
=

< 0 ϕthì
2

1. Phương pháp lượng giác.
Ví dụ 1: Tìm dao động tổng hợp của 2 DĐĐH cùng phương,
cùng tần số.
5π 
 4π
x1 = 4.cos
t
+

÷ cm ;
 5

6 

x2 = 4.cos  4π t − π ÷ cm.
 5

5π π 4π
∆ϕ
1
+ =
⇒ cos
=− <0
Giải: ∆ϕ =
6 2
3
2
2

∆ϕ
A = 2acos
= 4cm.
2
ϕ1 + ϕ2

ϕ=
+π =
2
3

4π 
 4π
x = 4cos 
t+
÷ cm.
3 
 5

2

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Giả sử ta phải tìm phương
trình dao động của một vật
thực hiện đồng thời hai dao
động điều hòa cùng phương,
cùng tần số:

x1 = A 1 cos(ω t + ϕ1)
x2 = A 2 cos(ω t + ϕ2 )

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

Ta lần lượt vẽ
u
u
r
u
u
r
vectơ
M
biểu
A
,A
quay 1 2
hai dao động x1 ; x2

y

M2

ur
Vẽ vectơ tổng
A

A
A2

diễn dao động to
A1
φ2

O

φ1 φ

u
r
Thấy rằng
A

ur ur ur
A = A1 + A 2

M1
x

là vectơ quay biều
diễn ptdđ tổng hợp

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen

Vậy:
Dao động tổng
hợp của hai dao
động điều hòa
cùng phương ,
cùng tần số

một
dao
động điều hòa
cùng
phương,

y

M
M2
A

A2
φ2
O

.

A1
φ1 φ

M1
x

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Biên độ
Q

·
A 2 = A 12 + A 22 − 2A 1A 2 cos(OM
M)
1

¼ M = 1800 − M
¼OM
ma OM
1
2
1
ø
¼ M) = − cos(M
¼OM )
cos(OM

1
2
1
ma
ø



¼
M 2OM 1 = ϕ2 − ϕ1
¼ M) = − cos(ϕ − ϕ )
cos(OM
1
2
1

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1
φ2
O

M1

φ1 φ
x2

x1

Vậy A 2 = A 12 + A 22 + 2A 1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1)
:

x
P

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
 Biên
Q
độ
 Pha ban
đầu φ
PM OQ A.si nϕ
tanϕ =
=
=
OP OP A.cosϕ
y1 + y2
tan ϕ =
x1 + x2

y

M
M2

y2

A
A2

.

A1

y1

mà y1 = A1 sin ϕ1 ; x1 = A1 cos ϕ1 O
:

φ2

φ1
x2

A 1 si nϕ1 + A 2 si nϕ2
⇒ tanϕ = A cosϕ + A cosϕ
1
1
2
2

M1

φ
x1

P

x

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
Ví dụ 2: Tìm dao động tổng hợp của 2 DĐĐH cùng phương,
5π π 
 5π π  cùng tần số.

x1 = 6cos  t + ÷ cm;
x2 = 4cos  t + ÷ cm.
3
 9
6
 9
Giải:
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ

π
= 6 + 4 + 2.6.4cos = 9,67cm.

π
2

2

6sin + 4 sin
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
3
6 ; 1,115
tan ϕ =
=
π
π
A1cosϕ1 + A2 cosϕ 2
6cos + 4cos
3
6

⇒ ϕ = 0,84 rad ; ω =
9

 5π

t + 0,84 ÷cm.
Vậy: x = 9,67 cos 
 9


3. Ảnh hưởng của độ lệch pha

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 gọi là độ lệch pha

a. ∆ϕ = 2k π (k = 0, ± 1, ± 2,± 3,...)

A max = A 1 + A 2
Hai dao động cùng pha:

b. ∆ϕ = (2k + 1)π :

A2

A
A1

= A1 − A 2
Hai dao động ngược Apha:
min
A
π
c. ∆ϕ = (2k + 1)
A1
2
A2
Hai dao động vuông pha:
A = A 12 + A 22

Tổng qt:

A1 − A 2 ≤ A ≤ A1 + A 2

A2

A1

A

III. TỔNG HỢP n DĐĐH CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ
Nếu có n dao động điều hồ cùng phương, cùng tần số
x1 = A1cos(ωt + ϕ1); ... ; xn = Ancos(ωt + ϕn)
Dao động tổng hợp :
x = x1 + x2 + x3+…..+ xn = Acos(ωt + ϕ)
Thành phần theo phương ngang Ox:
Ax = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 + ……. +Ancosϕn
Thành phần theo phương thẳng đứng Oy:
Ay = A1sinϕ1 + A2sinϕ2 + …+Ansinϕn

⇒ A=

A +A
2
x

2
y

; tan ϕ =

Ay
Ax

III. TỔNG HỢP n DĐĐH CÙNG PHƯƠNG,
CÙNG TẦN SỐ
Ví dụ 3 : Tìm dao động tổng hợp của 3 DĐĐH
cùng phương, cùng tần số.
π
 3π
x1 = 10cos  t + ÷cm;
2
 7

π
 3π
x2 = 3cos  t + ÷cm
4
 7
2π 
 3π
x3 = 8cos  t −
÷cm.
3 
 7

K

A3

Giải : Chiếu các véctơ lên 2 trục toạ độ
π
π
Ax = A1x + A2 x + A3 x = 0 + 3.cos

4

− 8.cos

3

π
3

y
A1

I
O

A2

π
4
H

x

L

= −1,9

π
π
Ay = A1 y + A2 y + A3 y = 10 + 3.sin − 8.sin = 5, 2
4
3