Tải bản đầy đủ
NỘI DUNG SÁNG KẾN KINH NGHIỆM

NỘI DUNG SÁNG KẾN KINH NGHIỆM

Tải bản đầy đủ

• (uv)′ = u′ v + v′ u

•  u ÷ = u′v − v′u (v ≠ 0)
2
 v

v

• (ku)′ = ku′ , (k là hằng số)
• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′ x và hàm số
y = f(u) có đạo hàm tại u là y′ u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là:
y′x = y′ u.u′x

4. Bảng đạo hàm
Hàm sơ cấp
1. ( C ) ′ = 0, (C là hằng số)
2. ( x ) ′ = 1
3. ( xα ) ′ = α .xα −1
1
1 ′
4.  ÷ = - 2
x
 x

5.

( x )′ = 2

1
x

6. (sinx)’ = cosx
7.(cosx)’ = - sinx
1
8.(tanx)’ =
cos 2 x
1
9.(cotx)’ = sin 2 x

Hàm hợp (u = u(x))
10. ( uα ) ′ = α .xα −1u ′
u′
1 ′
11.  ÷ = - 2
u
u

12.

( )


u =

u′
2 u

13. (sinu)’ = (cosu).u’
= u’.cosu
14.(cosu)’ = (-sinu).u’
= -u’.sinu
u'
15. (tanu)’ =
cos 2 u
u'
16. (cotu)’ = sin 2 u

5. Vi phân
• dy = df(x) = f ′(x).dx
6. Đạo hàm cấp cao
• f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n−1) (x)′ (n ∈ N, n ≥ 4)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm đa số học sinh tính đạo hàm chưa
thạo, còn lúng túng khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm, nhất là đối với
các bài toán tính đạo hàm của hàm hợp.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
VẤN ĐỀ 1 : Tính đạo hàm bằng định nghĩa
4

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực
hiện các bước sau:
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tìm

∆y
∆x

∆y
.
∆x→0 ∆x
lim

Ví dụ : Dùng định nghĩa tính f ′(x0) với: f (x) = x2 − 4x + 3 tại x0 = 1
Giải :
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 1. Ta có
∆y = f (1+ ∆x) − f (1) = ( 1+ ∆x) − 4(1+ ∆x) + 3− (12 − 4.1+ 3)
2

= 1+ 2∆x + ( ∆x) − 4− 4∆x + 3 = ( ∆x) − 2∆x = ∆x(∆x − 2)
2

2

∆y ∆x(∆x − 2)
=
= ∆x − 2
∆x
∆x

∆y
= lim (∆x − 2) = −2
∆x→ 0 ∆x ∆x→ 0
lim

Vậy f ′(x0) = -2

VẤN ĐỀ 2 : Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các quy tắc
tính đạo hàm.
Chú ý quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x2 − 4x + 3
Giải :
Ta có:
f ′(x) = (x2 − 4x + 3)′
= (x2)′ − (4x)′ + (3)′
= 2x1 − 4.(x)′ + 0
= 2x − 4.1
Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của hàm số
3x2 + 2x − 1
y=
x2 − 1
Giải :
 3x2 + 2x − 1′ (3x2 + 2x − 1)′ (x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)(x2 − 1)′

Ta có y = 
÷=
 x2 − 1 ÷
(x2 − 1)2



5

=
=

(6x + 2)(x2 − 1) − (3x2 + 2x − 1)2x
(x2 − 1)2
−2x2 − 4x − 2
(x2 − 1)2

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số

y = (x2 − 3x + 1).sin x
Giải :
Ta có
y' = (x2 − 3x + 1)′.sin x + (x2 − 3x + 1).(sin x)′ = (2x − 3)sin x + (x2 − 3x + 1)cos x
Ví dụ 4 : Tính đạo hàm của hàm số

y = x.cos3x
Giải :
Ta có :

y′ = ( x ) .cos3x + x(cos3x)′
=

=

1
2 x

1
2 x

cos3x − x(sin3x)(3x)′

cos3x − 3 x sin3x

Ví dụ 5 : Tính đạo hàm của hàm số
y = 2x2 − 5x + 2

Giải :
Ta có :

(

)


2x2 − 5x + 2

y′ =  2x2 − 5x + 2 ÷ =

 2 2x2 − 5x + 2
4x − 5
=
2 2x2 − 5x + 2

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x2 − x + 2 tại x0 = 2
Giải :
Ta có:

(

)′

f ′ ( x) = 2x2 − x + 2
= 4x − 1

( )

( )

⇒ f ′ x0 = f ′ 2 = 4.2 − 1= 7

6

Bài tập.
Bài 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = x3 − 3x + 1

b) f(x) = x2 − 2x

1
5x − 3
1
e) f(x) = cosx
f) f(x) =
sinx
Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) y = f(x) = 3− x tại x0 = –1
c) f(x) =

d) f(x) =

x + 2, (x > − 2)

2x + 1
tại x0 = 2
x−1
π
c) y = f(x) = sinx tại x0 =
6
b) y = f(x) =

d) y = f(x) = 3 x tại x0 = 1
2
x
+ x + 1 tại x = 0
e) y = f(x) =
0
x−1

Bài 3 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
1
a) y = 2x4 − x3 + 2 x − 5
b) y = 2 − x + x x.
3
3
x
2
d) y = x − 3x + 3

c) y = (x3 − 2)(1− x2)
2x2 − 4x + 1
e) y =
x− 3

x−1

f) y =

Bài 4 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x2 + x + 1)4

2x2
x2 − 2x − 3

b) y = (1− 2x2)5

3

(x + 1)2
 2x + 1
c) y = 
d) y =
÷
x

1
(x − 1)3


1
4
e) y = 2
f) y = ( 3− 2x2 )
2
(x − 2x + 5)
Bài 5 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
4x + 1
y
=
a)
x2 + 2
b) y = (x − 2) x2 + 3
7

Bài 6 :Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

 sinx 
a) y = 
÷
 1+ cosx 

b) y = x.cosx

c) y = sin3(2x + 1)

d) y = cot2x

e) y = sin 2 + x2

f) y = sinx + 2x

2
3

1
5

g) y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x

h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5sinx – 3cosx
c) y = x.cotx
e) y = cos x. sin 2 x
g) y = sin

4

x
2

π
3
i) y = cot (2x + )
4
l) y = cot 3 1+ x2

b) y = cos (x3)
d) y = (1 + cot x ) 2
1
3
f) y = cos x − cos x
3
sin x + cos x
h) y =
sin x − cos x
k) y = sin 2 (cos 3 x)
m) y = 3 sin 2 x. sin 3x

VẤN ĐỀ 3 : Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y0 = f '(x0)(x − x0) (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f ′(x0) = k (ý nghĩa hình học của
đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f(x0).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước:
+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d): y − y0 = f '(x0)(x − x0)
(d) qua A (x1, y1) ⇔ y1 − y0 = f '(x0) (x1 − x0) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f(x0) và f '(x0).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó:
+ (d) ⁄⁄ (∆) ⇒ kd = a

+ (d) ⊥ (∆ ) ⇒ kd = −

1
a
1
x

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = :

8

a) Tại điểm có tung độ bằng

1
.
2

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4x + 3.
Hướng dẫn
1
1
⇒ y′ = − 2 (x ≠ 0)
x
x
1 1
1
1
a) Với y0 = ta có x = 2 ⇔ x0 = 2 ; y′ (2) = −
2
4
0

Ta có

y=



1





Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  2; ÷là:
2
1
1
1
1 1
= − (x − 2) ⇔ y = − x + +
2
4
4
2 2
1
⇔ y = − x+ 1
4
y−

b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4x + 3 nên tiếp tuyến có hệ
số góc k = –4
Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp tuyến ⇒ y′ (x0) = −4

1
 x0 = 2
⇔−
= −4 ⇔ 
x02
 x0 = − 1

2
1

1
2

• Với x0 = ⇒ y0 = 2
1



Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  ;2÷là y = −4x + 4
2 
1
2

• Với x0 = − ⇒ y0 = −2
 1



Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  − ; −2÷là y = −4x − 4
 2

Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) =

x2 − 2x + 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x+ 1

hàm số f (x) tại điểm có hoành độ bằng 1.

x2 + 2x − 5
x2 − 2x + 3
⇒ f ′(x) =
x+ 1
(x + 1)2
1
Với x0 = 1⇒ f ( x0 ) = 1, f ′(1) = −
2

Ta có

f (x) =

1
3
⇒ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số là y = − x +
2
2
Bài tập.
Bài 1.Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + 3. Viết phương trình tiếp với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1.
9

b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
2

Bài 2.Cho hàm số y = f(x) = 2 − x + x (C).
x−1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
3x + 1
(C).
1− x

Bài 3.Cho hàm số y = f(x) =

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với
d:

1
y = x + 100 .
2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
∆: 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): y=x3-3x+7
a) Tại điểm A(1;5)
b) Song song với đường y=6x+1
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (c ): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vuông góc
1
với đường thẳng y= x
3
VẤN ĐỀ 4 : Tính đạo hàm cấp cao
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y(n) = (yn−1)/ .
2. Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Ví dụ: Cho hàm số f (x) = (2x − 3)5 . Tính f′′(3), ′′′(3) .
Giải:
Ta có:
f ′(x) = 5(2x − 3)4(2x − 3)′
= 10(2x − 3)4

(

)′

(

)′

f ′′(x) = 10(2x − 3)4
= 80(2x − 3)3

f ′′′(x) = 80(2x − 3)3

= 480(2x − 3)2

⇒ f ′′(3) = 80(2.3− 3)3 = 2160
f ′′′(3) = 480(2.3− 3)2 = 4320

10

Bài tập
Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cosx .

Baøi 1:

a) Tính

f '(x),f ''(x)

b) Tính

 π
f ''(π), f '' ÷, f ''(1)
 2

Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a) y = cosx, y'''
b) y = 5x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 7, y''

Baøi 2:

x− 3
, y''
x+ 4
e) y = xsinx, y''

c) y =

g) y = (x2 + 1)3,y''

d) y = 2x − x2 , y''
f) y = xtanx, y''
h) y = x6 − 4x3 + 4, y(4)

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
2x + 1
a) y =
b) y = 2
x + x−2
x−2
c) y =

x
x −1
2

e) y = x 2 sin x

d) y = x x 2 + 1
f) y = (1 − x 2 ) cos x

g) y = x.cos2x
h) y = sin5x.cos2x
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Chất lượng giảng dạy của bản thân được nâng lên, đa số học sinh tiếp thu
được, cụ thể là làm được các dạng bài tập về đạo hàm. Học sinh học tập tích
cực, yêu thích môn toán.
3. Kết luận
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “Đạo
hàm ”. Rất mong được quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng
góp, trao đổi để lần sau được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11
theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo dục
phát hành năm 2007.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Trịnh Văn Huế

11