Tải bản đầy đủ
+ Kỹ năng tính nhanh cực trị: Khi đó có 2 nghiệm phân biệt với và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

+ Kỹ năng tính nhanh cực trị: Khi đó có 2 nghiệm phân biệt với và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

Tải bản đầy đủ

10
A. m = −

1
6

B. m =

1
6

C. m = −

1
3

D. m =

1
6

1
3

Học sinh giải: ∆1 = b 2 − 3ac = 1 − 3m > 0 ⇔ m < ; hệ số góc của đường thẳng đi
qua 2 điểm cực trị là k = −

1
2 ( 1 − 3m )
2 ∆1
=−
. Từ đó k.9 = -1 và rút ra kết quả m = .
6
9a
9

Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số bằng: A. - 6
B. -3
C. 0
D. 3
2
3±3
Học sinh giải: ∆1 = b 2 − 3ac = 9 − 0 = 9 > 0 . x1,2 = −b ± b − 3ac =
. Nên
3a
3
tích các giá trị cực trị là: -3 đáp án B
Câu 10: Tìm m để khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến đường thẳng đi qua 2 điểm
1 3
9 37
2
cực trị của đồ thị hàm số y = x − x − 3 ( m + 2 ) x + m − 3 bằng
9
37
A.m ∈∅ ;

B. m = −

153
;
44

C. m = 0;

D. m = −

153
và m = 0
44

+ Điều kiện để hàm số có cực trị:

1
∆1 = b 2 − 3ac = 1 + 3. .3 ( m + 2 ) = m + 3 > 0 ⇔ m > −3
9
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị:

y=

9a c 
1 −3m − 6
1

2

.x
+
=

2
m
+
3
x
+
(
)

÷
1
b d
−1 m − 3
9a 

y = −2 ( m + 3) x − 2m − 9 ⇔ 2 ( m + 3) x + y + 2m + 9 = 0 (d)
+ Khoảng cách từ O đến d là:
m = 0
9
2
d ( O;d ) =
=
⇔ 44m + 153m = 0 ⇔ 
2
 m = − 153 (L)
37
4 ( m + 3) + 1

44
2m + 9

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C.
4
2
2.3.2.2. Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) trên ¡ .

11
3
2
Ta có y′ = 4ax + 2bx = 2 x ( 2ax + b ) .

x = 0
x = 0
⇔ 2
Suy ra y ′ = 0 ⇔  2
;
x = − b
2
ax
+
b
=
0

2a


Đặt: ∆ = b 2 − 4ac

+ Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 có ba
nghiệm phân biệt ⇔ −

b
< 0 ⇔ ab < 0
2a

+ Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 1 điểm cực trị ⇔ −

(3)
b
≥ 0 ⇔ ab ≥ 0 (với a ≠ 0 )
2a

x = 0

Với điều kiện (4) ta có y′ = 0 ⇔ 
b . Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm
x=± −

2a


cực trị là C ( 0; c ) , A  − −



b
∆
b
∆ 
∆ 

; − ÷ và B  − ; - ÷, H  0; - ÷. Vì 2 điểm A
2a 4 a 
2a 4a 
4a 



và B đối xứng nhau qua trục tung nên ∆ABC cân tại C.
+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi ·ACB = 900 hay tam giác
ABC vuông cân tại C. Khi đó AB = BC 2 ⇔ b3 + 8a = 0

12
Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
 ab < 0

tam giác vuông khi và chỉ khi 

3
b + 8a = 0

.

(4)

+ Ta có tam giác ABC là tam giác đều ⇔ CH = 3HB ⇔ b3 + 24a = 0 .
Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
 ab < 0

tam giác đều khi và chỉ khi 

3
b + 24a = 0

.

(5)

+ Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác
cân có một góc α = 1200 .
·
+ Ta có ∆ ABC có ·ACB = 1200 ⇔ BCH
= 600 ⇔ BH = 3CH ⇔ 3b 3 + 8a = 0 .

Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
 ab < 0

tam giác có 1 góc α = 1200 ⇔ 

3
3b + 8a = 0

.

(6)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện
tích tam giác đó.
Ta có: CH = −

b2
b2
1
2b b 2
1
b5
=
=
.

.
S
=
BC
.
AH
; ABC
= −
4a 4 a
2
a 4a
2
32a 3

(7)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ tam giác vuông AHC, ta có sin ·ACH =
Áp

dụng

định



sin

vào

CH CH
=
.
AC BC

tam

giác

b3 − 8a
CB
BC 2 b 4 − 8ab 4 a
2R =
=
=
× 2 . Suy ra R =
.
·
8ab
CH
16a 2
b
sin CAB

ABC

ta

được
(8)

13
Một số ví dụ minh họa áp dụng công thức từ (3) đến (8)
4
2
2
Bài 11: Tìm m để hàm số y = − x + 2 ( m + 2 ) x + m − 5m có 3 cực trị. [4]

A. m < 2

B. m > -2

C. m < 0

D. m > 1

Áp dụng (3) ta có: ab < 0 ⇔ −2 ( m + 2 ) < 0 ⇔ m > −2 . Chọn B.
4
2
2
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x − 2 ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị
tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. [3]

A. -1

B. 0

C. - 2

D. 1

Học sinh giải: Áp dụng công thức (4) ta có:
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
−
 m > −1
 ab < 0
 2 ( m + 1) < 0



⇔ m = 0 . Chọn đáp án B
vuông

 3

3
3
m
+
1
=
1
b
+
8
a
=
0
(
)

8
m
+
1
+
8
=
0

)

 (


Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 3 có ba điểm cực trị lập thành
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. [3]
A. 0

B. 1

C. 2

D.

1
2

3

−2m < 0
 ab < 0
m > 0



3
3
b − 8a ⇔ 
−2m ) − 8 ⇔ 
Áp dụng công thức (8) ta có: 
(
m3 + 1
R
=
R
=
R
=



8ab
8 ( −2m )
2m



1
1  1
1
1  1 3 2 1 1
3 1
3
R =  m2 + ÷ =  m2 +
+
≥ .3. m .
.
= . 3 = .3 2 .
÷
2
m 2
2m 2m  2
2m 2 m 2 4 4
3
4

Vậy Mi n R = . 3 2 ⇔ m 2 =

1
1
1
⇔ m3 = ⇔ m = 3 . Chọn D.
2
2m
2

4
2
2
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 có các điểm
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. [3]

14
A. 2

B.

1
2

3

C. 2 − 3 3

D. 2 + 3 3

2 ( m − 2 ) < 0
 m < 2
 ab < 0

⇔

 3
3
3
( m − 2 ) = −3
b + 24a = 0
8 ( m − 2 ) + 24 = 0

Áp dụng (5) ta có:

m < 2
⇔
⇔ m = 2 − 3 3 . Chọn đáp án C.
m = 2 − 3 3

Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số y = − x 4 + 2mx 2 + 1 có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200 . [4]
A. 2

B.

1
3

3

C. 2 − 3 3

D. 2 + 3 3

 ab < 0

 −2m < 0
1

m
=

. Chọn B

3
3
3
3
3b + 8a = 0
 24m − 8 = 0

Áp dụng (6) ta có: ⇔ 

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32.
A. 4

B. 1

C. 2

D.

1
2

3

 −2m < 0
ab < 0
 m > 0


5 ⇔
5

Áp dụng (7) ta có: 


b
( −2m )
5
32 = m
S = −
32 = −
3
3
32a

32.1


 m > 0
m > 0

⇔ 2
⇔ m = 4 . Chọn đáp án A.

5
5
2
 m = 32
32 = m

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với đồng nghiệp
- Giúp đồng nghiệp quan tâm, khăc sâu và sửa chữa các sai lầm thường gặp
cho học sinh trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia phần cực trị của hàm số
thuộc chương trình lớp 12.

15
- Giúp đồng nghiệp có thể sử dụng các kết quả (công thức được xây dựng) để
kiểm tra nhanh các kết quả trong quá trình dạy học của mình và hướng dẫn học
sinh giải nhanh trong bài thi THPT Quốc gia.
2.4.2. Đối với học sinh
- Giúp học sinh khắc phục các sai lầm về giải quyết các bài toán phần cực trị
ôn thi THPT Quốc gia.
- Giúp học sinh nắm được các công thức tính nhanh để tìm ra đáp án phù hợp
trong bài thi THPT Quốc gia năm 2017.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: Trong nhiều năm dạy học của mình, đặc biệt là năm học 2016 –
2017 tác giả có ôn thi THPT Quốc gia và đã rút ra được một số kinh nghiệm trong
việc dạy ôn thi phần cực trị của hàm số. Qua bài viết tác giả đã đưa ra được một số
vấn đề sau:
- Đưa ra được các sai lầm thường gặp và cách sửa chữa các sai lầm cho học
sinh khi giải các bài toán cực trị của hàm số.
- Xây dựng được các công thức để giúp học sinh giải nhanh các bài toán cực
trị trong đề thi THPT Quốc gia: Công thức về điều kiện có các cực trị của hàm số
bậc 3, trùng phương; Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị của đồ thị hàm số
bậc 3 dưới dạng định thức và biệt thức ∆ theo các hệ số của hàm số; các công thức
về 3 điểm cực trị của hàm số trùng phương (3 điểm cực trị lập thành tam giác
vuông, đều, công thức diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ...). Đây
là các dạng toán điển hình trong bài thi THPT Quốc gia.
3.2. Kiến nghị: Đây là nội dung hay và khá quan trọng trong quá trình ôn thi
môn Toán. Vì vậy tác giả xin đề nghị các thầy, cô và các em học sinh nghiên cứu
đọc và áp dụng trong quá trình dạy – học của mình đồng thời tiếp tục bổ sung để
đề tài được hoàn thiện hơn trong quá trình sử dụng. Đặc biệt cần xây dựng hệ
thống bài tập trắc nghiệm để học sinh luyện tập và củng cố.
Tĩnh Gia, ngày 18 tháng 4 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên là do
ĐƠN VỊ
bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao
chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN

16
Nguyễn Văn Hữu

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo
dục Việt Nam tái bản lần thứ 5.
2. Nguyễn Huy Đoan, Sách bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục Việt
Nam tái bản lần thứ 4.
3. Nguyễn Văn Nho, Bộ đề luyên thi thử đại học môn Toán, Nxb đại học quốc
gia Hà Nội tái bản lần thứ 2.
4. Trần Thành Minh, Giải toán đại số và giải tích 11 dùng cho học sinh lớp
chuyên, Nxb giáo dục tái bản lần thứ 12.