Tải bản đầy đủ
1 Thám mã và phân tích số nguyên

1 Thám mã và phân tích số nguyên

Tải bản đầy đủ

9
• Loại đã được nghiên cứu nhưng chưa bị phá (RSA, IDEA, các hệ mã
sử dụng logarit rời rạc, đường cong elliptic, . . . ).
Có ba cách thông dụng trong việc chuyển hóa văn bản mã thành văn
bản gốc:
• Ăn trộm, hối lộ, hoặc mua (với giá rất cao) để có được chìa khóa;
• Khai thác tính cẩu thả hoặc lỏng lẻo của người dùng khóa (ví dụ : có
người hay dùng tên người thân để làm mật khẩu hoặc chìa khóa);
• Phân tích mã (tức là thám mã).
Bây giờ, ta sẽ thảo luận về một số phương pháp thám mã. Thực tế, thám
mã sẽ phức tạp hơn nếu người ta không biết hệ mật mã đã được sử dụng.
chúng ta giả sử người thám mã đã biết rõ hệ mật mã được sử dụng khi tiến
hành phân tích mã. Mục đích là thiết kế được một hệ mật mã an toàn bảo
mật.
Dưới đây ta sẽ liệt kê các loại tấn công vào hệ mật mã. Mức độ tấn công
sẽ phụ thuộc vào hiểu biết của người thám mã đối với hệ mật mã được sử
dụng :
• Tấn công chỉ biết bản mã (ciphertext-only): người thám mã chỉ có
bản tin mã hóa.
• Tấn công biết bản tin rõ (known plaintext): người thám mã có bản
tin rõ và bản mã.

10
• Tấn công chọn bản tin rõ (chosen plaintext): người thám mã tạm
thời có quyền truy xuất tới bộ mã hóa, do đó người thám mã có khả
năng chọn bản tin rõ và xây dựng bản mã tương ứng.
• Tấn công chọn bản mã (chosen ciphertext): người thám mã tạm thời
có quyền truy xuất tới bộ giải mã, do đó anh ta có khả năng chọn bản
mã và xây dựng lại bản tin rõ tương ứng.

Bây giờ ta sẽ liệt kê các phương pháp thám mã

1. Thám mã tích cực là việc thám mã sau đó tìm cách làm sai lạc các dữ
liệu truyền, nhận hoặc các dữ liệu lưu trữ phục vụ mục đích của người
thám mã.
2. Thám mã thụ động là việc thám mã để có được thông tin về bản tin rõ
phục vụ mục đích của người thám mã.
3. Thám mã affine. Trong mật mã affine, đầu tiên bảng chữ cái của thông
điệp cần mã hóa có kích thước m sẽ được chuyển thành các con số
tự nhiên từ 0, . . . , m − 1. Sau đó dùng một hàm modulo để mã hóa và
chuyển thành bản mã. Hàm mã hóa cho một ký tự như sau:
e(x) = (ax + b) (mod m)
với m là kích thước của bảng chữ cái, a và b là khóa mã. Giá trị a được
chọn sao cho a và m là nguyên tố cùng nhau.
Giả sử Trudy đã lấy được bản mã sau đây:

11
FMXVEDKAPHFERBNDKRXRSREFMORUD
SDKDVSHVUFEDKAPRKDLYEVLRHHRH
Trudy thống kê tần suất xuất hiện của 26 chữ cái như trong bảng sau:
A 2 N 1
B 1 O 1
C 0

P

3

D 6 Q 0
E 5 R 8
F

4

S

3

G 0

T

0

H 5 U 2
I

0 V 4

J

0 W 0

K 5 X 2
L 2 Y 1
M 2

Z

0

Các chữ cái trong bản mã xuất hiện tổng là 57 lần, nhưng phương pháp
này tỏ ra hiệu quả để thám mã affine. Ta thấy tần suất xuất hiện các
chữ cái theo thứ tự là: R là 8, D là 6, E, H, K là 5 và F, S, V là 4. Vì
vậy dự đoán đầu tiên của ta có thể là R là mã của e, D là mã của t.
Theo đó, eK (4) = 17 và eK (19) = 3. Mà ta có eK (x) = ax + b. Để tìm

12
K = (a, b) ta giải hệ phương trình:



4a + b ≡ 17 (mod 26)


19a + b ≡ 3 (mod 26) .
Giải hệ phương trình này ta được a = 6, b = 19. Đây không phải là
khóa vì gcd(a, 26) = 2 > 1. Ta lại tiếp tục phỏng đoán rằng R là mã
của e, E là mã của t. Ta nhận được a = 13, chưa thỏa mãn. Tiếp tục với
H, ta có a = 8. Cuối cùng, với K ta tìm được K = (3, 5). Sử dụng khóa
mã này ta có được bản tin rõ là
algorithmsrequiregeneraldefinitionsofarithmeticprocesses
(algorithms require general definitions of arithmetic processes)

1.2

Phân tích Fermat

Trước khi thảo luận về các thuật toán phân tích số nguyên, ta sẽ giới thiệu
một số quy ước về thuật ngữ và khái niệm cơ sở.
Ta sẽ bắt đầu với các thuật ngữ của sẽ được dùng trong trình bày:

• Kí hiệu O lớn (big O notation). Hàm f (x) là O(g(x)) khi x → ∞ nếu
và chỉ nếu có các số dương c và k sao cho với mọi x > k, ta có
0 < f (n) ≤ cg(n).
Ta xét ví dụ f (x) = 2x2 + x + 1 là O(x2 ) khi x → ∞ với c = 2, k = 0.

13
Kí hiệu O lớn được áp dụng trong thời gian chạy (running time) hoặc
trong yêu cầu lưu trữ (storage requirements) của một thuật toán. Trong
trình bày, để ngắn gọn ta cũng có thể chỉ cần viết O(g(x)), và được giả
thiết là ta xét với x → ∞. Khi ta xét hàm nhiều biến, thì biến mà dần tới
vô hạn sẽ được chỉ ra. Như một phần trong định nghĩa của O(g(x)), tất
cả các sự kiện xảy ra sẽ được xét với x → ∞.
• Phân tích tầm thường (trivial factor). Phân tích tầm thường là phân
tích mà nhân tử là s = 1 hoặc s = N.
• Phân tích không tầm thường (nontrivial factor). Phân tích không tầm
thường là phân tích một số nguyên mà trong phép phân tích có nhân tử
s thỏa mãn 1 < s < N.
• Số nguyên tố (prime number). Một số nguyên dương lớn hơn 1 được
gọi là nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Với các khái niệm trên, ta có Định lý cơ bản của số học đó là : Mọi số tự
nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ
tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố.
Luận văn này có mục đích trình bày về thuật toán phân tích số nguyên.
Ta hãy xem xét một lý do dẫn đến việc làm này.
Định lý cơ bản của số học kéo theo nhận xét rằng mọi số nguyên đều
có thể được phân tích thành tích .

14
Xét số
N = 25195908475657893494027183240048398571429282126204
03202777713783604366202070759555626401852588078440
69182906412495150821892985591491761845028084891200
72844992687392807287776735971418347270261896375014
97182469116507761337985909570009733045974880842840
17974291006424586918171951187461215151726546322822
16869987549182422433637259085141865462043576798423
38718477444792073993423658482382428119816381501067
48104516603773060562016196762561338441436038339044
14952634432190114657544454178424020924616515723350
77870774981712577246796292638635637328991215483143
81678998850404453640235273819513786365643912120103
97122822120720357.
Số nguyên này được biết như là RSA-2048. Vào tháng 3/1991, Phòng thí
nghiệm RSA (RSA Laboratories) đã thông báo giải thưởng USD 200.000
cho sự phân tích thành công số nguyên này. Tính đến tháng 11/2004, số
này vẫn chưa được phân tích.
Nếu biết trước hai số nguyên tố lớn thì ta sẽ có một thuật toán nhanh
để nhân chúng với nhau. Tuy nhiên, trong tình huống ngược lại, nếu cho
tích của hai số nguyên tố, rất khó phân tích ngược lại để tìm ra hai số như
vậy. Thuật toán nhanh nhất được biết đến hiện nay có tên gọi Sàng trường

15
số tổng quát (General Number Field Sieve (GNFS)), mà nếu lấy trung bình
thì sẽ cần
S = O exp

64
n
9

1/3

(log n)2/3

bước để phân tích một số nguyên với n chữ số thập phân.
Thời gian chạy thuật toán bị chặn dưới bởi hàm đa thức, và bị chặn trên
bởi hàm mũ theo n. Chính sự khó khăn của việc phân tích các số nguyên
lớn sẽ là cơ sở cho một số thuật toán mật mã hiện đại.
Bây giờ ta sẽ trình bày về phân tích Fermat. Thuật toán này được phát
minh bởi nhà toán học Pierre de Fermat trong những năm 1600 (xem Weisstein E.W. [5]). Để làm phân tích Fermat, ta viết một hợp số N thành hiệu
của hai bình phương,
N = x2 − y2 .
Hiệu này của các bình phương dẫn đến sự phân tích của N
N = (x + y)(x − y).
Giả sử rằng s và t là các nhân tử không tầm thường lẻ của N thỏa mãn
st = N và s ≤ t. Ta tìm x và y sao cho s = (x − y) và t = (x + y). Giải
phương trình này, ta tìm x = (s + t)/2 và y = (t − s)/2. Ở đây, x và y là các
số tự nhiên, do hiệu số giữa hai số lẻ là chẵn, và một số chẵn là bội của 2.
Do s > 1 và t ≥ s, ta tìm x ≥ 1 và y ≥ 0. Trong trường hợp riêng, các số x, y

thỏa mãn s = (x − y) và t = (x + y), vì vậy x = N + y2 , và do đó x ≥ N.
Cũng vậy, x = (s + t)/2 ≤ 2t/2 ≤ N.
Đối với thuật toán này, ta chọn x1 =


N, và xi+1 = xi + 1. Với mỗi i, ta

16
kiểm tra khi nào thì yi =

xi2 − N là một số nguyên và khi nào thì (xi + yi ),

(xi − yi ) là các nhân tử không tầm thường N. Nếu cả hai điều kiện đó xảy
ra, ta có được một phân tích không tầm thường. Nếu không, ta tiếp tục với
i tiếp theo.
Dưới đây là thuật toán.

function fermatFactor(N)
for x from ceil(sqrt(N)) to N
ySquared := x * x - N
if isSquare(ySquared) then
y := sqrt(ySquared)
s := (x - y)
t := (x + y)
if s <> 1 and s <> N then
return s, t
end if
end if
end for
end function

trong đó hàm isSquare(z) đúng nếu z là một số chính phương và sai nếu
ngược lại.

17

1.3

Phân tích Pollard p − 1

Phương pháp phân tích Pollard p − 1 được giới thiệu bởi Pollard J.M. năm
1974 (xem Weisstein E.W. [8]). Nó dựa trên Định lí Fermat nhỏ được phát
biểu như sau:
Định lí 1.3.1 (Định lí Fermat nhỏ). Nếu p là một số nguyên tố, a là một số
tự nhiên và p | a thì a p−1 ≡ 1 (mod p).
Giả sử chúng ta có một số nguyên dương k ≥ 1 và một số nguyên tố
p > 2 sao cho (p − 1) | k!. Bây giờ ta áp dụng Định lí Fermat nhỏ với a = 2,
2 p−1 ≡ 1 (mod p).
Nhưng do (p − 1) | k! nên ta có thể viết k! = (p − 1)q với một số nguyên
dương q nào đó. Ta có
2k! ≡ (2 p−1 )q ≡ 1q ≡ 1 (mod p).
Do vậy p | 2k! − 1. Nếu N là một số nguyên có nhân tử nguyên tố không
tầm thường p, thì p là ước của 2k! − 1 + Nt với mọi số nguyên t. Ta có thể
tính xk ≡ 2k! − 1 (mod N) với k = 1, 2, 3, . . . , và với mỗi xk kiểm tra xem
có tồn tại một số nguyên rk = gcd(xk , N) mà là ước của cả xk và N. Nếu
(p − 1) | k! thì p | xk và do đó rk là một nhân tử không tầm thường của N.
Nếu rk không phải là một nhân tử không tầm thường của N, thì nó là một
nhân tử tầm thường của N, tức là rk = 1 hoặc rk = N. Thuật toán như sau:
• Tính rk = gcd(2k! − 1, N) với k = 1, 2, 3 . . .. Nếu rk ∈
/ {1, N} thì rk là
một nhân tử không tầm thường và ta hoàn thành công việc cần làm.