Tải bản đầy đủ
Hạng của một hệ véctơ

Hạng của một hệ véctơ

Tải bản đầy đủ

Tổng và giao các không gian con

Định nghĩa

Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 =
= {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được
gọi là tổng của F1 và F2.
Định lý
Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con
của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
32CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con

Định nghĩa
Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực
tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký
hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2.
Ví dụ
K = R, E = R3, các không gian véctơ con
F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có
F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
33CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Phần bù của không gian con

Định nghĩa
Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E
được gọi là bù nhau trong E


F1 + F2 = E
⇔ F1 ⊕ F2 = E .
F1 F2 = {0}

Ví dụ
K = R, E = R2, các không gian véctơ con
F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0}
và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
34CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Phần bù của không gian con

Số chiều của phần bù của không gian con

Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của
E , dim(F ) = p(p n). Khi đó
F có ít nhất một phần bù trong E
Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là
n − p.
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
35CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Phần bù của không gian con

Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp.
Khi đó dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ).
Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E
nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của
E ⇒ dim(H) = p n. Mặt khác H = F ⊕ G nên
G là phần bù của F trong H
⇒ dim(G ) = p − dim(F ),
⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
36CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Phần bù của không gian con

Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều,
F1, F2, . . . , Fm là những không gian véctơ con của
E có tổng trực tiếp. Khi đó
m

dim(F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fm ) =

dim(Fi ).
i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
37CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Phần bù của không gian con

Hệ quả
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
2 không gian véctơ con của E . Nếu
F ⊂G
⇒ F = G.
dim(F ) = dim(G )
Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G
và dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0
⇒ H = {0}.
Vậy G = F + H = F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
38CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con

Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không
gian con

Định lý
Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F và G là
những không gian véctơ con của E . Khi đó
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
39CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Ví dụ

Ví dụ
Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1),
u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8),
u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3),
v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9),
v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > và
V =< v1, v2, v3, v4 > . Tìm cơ sở và chiều của
không gian U + V và U ∩ V .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
40CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Ví dụ

Tìmcơ sở của U 

1 2 1 1
1



3 6 5 7 
0

→
4 8 6 8 
0
8 16 12 16
0

2
0
0
0

1
2
0
0



1

4

0
0

Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là
{(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
41CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Ví dụ

Tìm
 cơ sở của V 

1 3 3 3
1



2 5 8 6 
0

→
3 8 8 9 
0
6 16 16 18
0

3
−1
0
0

3
−1
0
0



3

0

0
0

Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là
{(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
42CON
/ 53