Tải bản đầy đủ
Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tải bản đầy đủ

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ
Giải
 hệ
 x1
2x
 1
x1

1 2
2 4
1 2

Ví dụ

tìm nghiệm của không gian nghiệm
+ 2x2 − x3 + x4 = 0
+ 4x2 − 3x3
= 0
+ 2x2 + x3 + 5x4 = 0



h2 →h2 −2h1
1 2 −1 1
−1 1
h →h −h1
 0 0 −1 −2 
−3 0  −−3−−3−−→
0 0 2 4
1 5

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
22CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ




1 2 −1 1
h3 →h3 +2h2
−−
−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ
0 0 0 0
sở,
, x4 là
 biến tự do.Đặt x2 = α,
x4 =β

 x2

x1
−2α − 3β
−2
−3





 x2  
α
 = α 1 +β 0 
=


 0 
 −2 
 x3  
−2β
x4
β
0
1
Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0, −2, 1)T là cơ sở

của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm
của hệ này là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
23CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ

Định lý
Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp } ⊂ E có hạng r và
W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M.
Khi đó dim(W ) = r .
Chứng minh.
Giả sử Mr = {xi1 , xi2 , . . . xir } là 1 tập con độc
lập tuyến tính tối đại của M.
Chứng minh Mr sinh ra W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
24CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ
thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ
của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của Mr . Có nghĩa là
W =< M >⇒ W =< Mr > .
Mr độc lập tuyến tính.
Mr là tập sinh của W .
⇒ Mr là cơ sở của W
⇒ dim(W ) = r = rank(M).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
25CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E
sinh bởi m véctơ x1 , x2 , . . . , xm : M =< x1 , x2 , . . . , xm >

1

2

3

Lấy một cơ sở B = {e1, e2, . . . , en } bất kỳ của
E . Tìm [x1]B , [x2]B , . . . , [xm ]B
Xét không gian hàng của ma trận
A = ([x1]B , [x2]B , . . . , [xm ]B )T
Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định
r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng
r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
26CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) =
x 2 + 2x + 1, p2(x) = 2x 2 + x − 1, p3(x) = 4x + 4.
Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi
3 véctơ trên.
Xét cơ sở chính tắc x 2,x, 1
1
trận các cột A là A =  2
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

của P2
(x), vậy ma
2 1
1 −1 
4 4

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
27CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ




1 2 1
h3 →h3 −4/3h2
h2 →h2 −2h1
A −−
−−−−→  0 −3 −3  −−−−−−−→
0 4 4


1 2 1
 0 −3 −3  = B. Ma trận B có hàng 1 và
0 0 0
hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không
gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy
p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian
con sinh bởi 3 véctơ trên là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
28CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hạng của ma trận phụ hợp

Hạng của ma trận phụ hợp

Định lý
Cho A ∈ Mn (K ). Khi đó
Nếu r (A) = n thì r (PA) = n
Nếu r (A) = n − 1 thì r (PA) = 1
Nếu r (A) < n − 1 thì r (PA) = 0.
1

2

3

1. r (A) = n ⇒ det(A) = 0. det(PA) =
(det(A))n−1 ⇒ det(PA) = 0 ⇒ r (PA) = n.
3. r (A) < n − 1 ⇒ mọi định thức con cấp n − 1
đều bằng 0 ⇒ PA = 0 ⇒ r (PA) = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
29CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hạng của ma trận phụ hợp

2. Ta có A.PA = det(A). Nếu r (A) = n − 1 thì
det(A) = 0. Do đó A.PA = 0, từ đó suy ra các véc
tơ cột của ma trận PA là nghiệm của hệ phương
trình AX = 0. Suy ra rank(PA) = hạng các véc tơ
cột của ma trận PA nhỏ hơn hoặc bằng số chiều
của không gian nghiệm của hệ thuần nhất
AX = 0 ⇒ r (PA) n − r (A) = 1. Mặt khác, do
r (A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con
cấp n − 1 khác không hay PA = 0. Suy ra
r (PA) 1. Vậy r (PA) = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
30CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Định nghĩa

Định lý
Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các
không gian véctơ con của E , thế thì giao Fi là
i∈I

một không gian véctơ con của E .
Chứng minh. Đặt F =

Fi
i∈I

1

2

3

F = ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F .
∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi
⇒x +y ∈F
∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K , λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
31CON
/ 53

Tổng và giao các không gian con

Định nghĩa

Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F1, F2 là 2 không gian
véctơ con của E . Ta ký hiệu F = F1 + F2 =
= {x ∈ E , ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được
gọi là tổng của F1 và F2.
Định lý
Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con
của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
32CON
/ 53