Tải bản đầy đủ
Định nghĩa không gian véctơ con

Định nghĩa không gian véctơ con

Tải bản đầy đủ

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Định nghĩa không gian véctơ con

Định lý
Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một
K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật
+:F ×F →F
(x, y ) −→ x + y
•:K ×F →F
(λ, x) −→ λ.x
cảm sinh bởi các luật của E .
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ6CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
F = R × {0} = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R2.
Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. Với mọi
x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì

x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ7CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R3.
Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅.
∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒
2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó,
suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(2x1 −2x2 +x3)+(2y1 −2y2 +y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ8CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó
2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0
⇒ λx ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ9CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1 +2x2 +x3 = 1}
không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.
Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F
thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và
(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do
đó x + y ∈
/ F.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
10CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Bao tuyến tính

Bao tuyến tính

Định lý
Cho S = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E , E − là một K -kgv.
Khi đó W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x =
n

λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không
i=1

gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến
tính của tập {x1, x2, . . . , xn }. Kí hiệu
W = span(S)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
11CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Bao tuyến tính

Chứng minh
0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W
⇒ W = ∅.
1

n

2

∀x, y ∈ W ⇒ x + y =

n

λi xi +
i=1

n

γi x i =
i=1

(λi + γi )xi ⇒ x + y ∈ W .
i=1
3

n

∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

λi xi =
i=1

n

(λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .
i=1

Vậy W là một không gian véctơ con của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
12CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
Trong R − kgv R3 cho
M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định
.
Giải.
< M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) +
λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x =
(λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
13CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Ví dụ

Ví dụ
Trong R − kgv P2(x) cho
M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .
Giải.
< M >= {λ1(x −2)+λ2(x −2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} =
{λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
14CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) n.
Chứng minh.
Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính
của F đều có số phần tử n.
Gọi B = {x1, x2, . . . , xk }(k n) là 1 tập con
độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn
nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ
cần chứng minh B là tập sinh của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
15CON
/ 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Chứng minh B là tập sinh của F .

Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F
B = {x1, x2, . . . , xk } (k < n) ĐLTT, x không là
THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT
Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần
tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn
nhất).
Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của
những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
16CON
/ 53