Tải bản đầy đủ
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Tải bản đầy đủ

7

Trong đó:


Z = điểm số để phân loại,



βi (i = 1, 2, …, n) = hệ số,



Xi (i = 1, 2, …, n) = các biến độc lập, các tỷ số tài chính.

Theo đó, mỗi quan sát sẽ nhận được một điểm số Z, và sau đó, so sánh điểm số Z
này với giá trị của “điểm cắt” (cutoff), nhằm giúp xác định quan sát đó thuộc vào
nhóm nào.
Phân tích phân biệt cho ra kết quả tốt hơn khi các biến có dạng phân phối chuẩn và
ma trận hiệp phương sai đối với mọi nhóm là bằng nhau. Tuy nhiên, nghiên cứu
thực nghiệm cho thấy các công ty có tình hình tài chính không lành mạnh vi phạm
giả định phân phối chuẩn (Back và cộng sự, 1996). Mặc dù vậy, vấn đề về giả định
phân phối chuẩn không làm yếu đi khả năng dự báo của mô hình DA, mà chỉ làm
yếu khả năng xác định xác suất xảy ra kiệt quệ tài chính của mô hình DA. Vì vậy,
phân tích phân biệt (DA) chỉ có thể nhận dạng một công ty là có vấn đề về tài chính
hay tài chính lành mạnh, không thể cung cấp thông tin về xác suất xảy ra kiệt quệ
của công ty. Ngoài ra, phân tích phân biệt (DA) cũng xuất hiện hiện tượng đa cộng
tuyến giữa các biến độc lập, đặc biệt khi phương pháp stepwise được sử dụng (Hair
và cộng sự, 1998). Mặc dù vậy, Altman (2000) tuyên bố rằng hiện tượng đa cộng
tuyến không nghiêm trọng trong mô hình phân tích phân biệt DA, bởi vì trước đó,
việc lựa chọn các biến số độc lập (các tỷ số tài chính) cho mô hình đã được thực
hiện rất cẩn thận.
2.1.1. Phân tích phân biệt đơn biến của Beaver (1966)
Beaver chọn 79 công ty kiệt quệ tài chính là các công ty bị phá sản, hoặc không thể
trả lãi, hoặc chậm trả cổ tức, hoặc tài khoản ngân hàng cạn kiệt. Dữ liệu lấy từ tạp
chí chuyên ngành hàng năm của Moody từ năm 1954 đến 1964. Beaver sử dụng
phương pháp bắt cặp để chọn các công ty không bị kiệt quệ vào mẫu, cụ thể “với

8

mỗi công ty kiệt quệ trong mẫu, sẽ chọn một công ty không kiệt quệ cùng ngành và
cùng giá trị tài sản vào mẫu”. Động cơ đằng sau phương pháp này là để kiểm soát
ảnh hưởng của nhân tố giá trị tài sản và ngành lên các tỷ số tài chính và sự kiệt quệ.
Beaver chọn 30 tỷ số tài chính và sử dụng 3 loại phân tích thực nghiệm để thấy khả
năng dự báo của các tỷ số tài chính này, đó là:


Thứ nhất, phân tích so sánh giá trị trung bình,



Thứ hai, kiểm định tách đôi,



Thứ ba, phân tích khả năng dự báo.

Đầu tiên, phân tích so sánh giá trị trung bình sẽ so sánh giá trị trung bình của tỷ số
tài chính giữa các công ty kiệt quệ và các công ty không kiệt quệ, kết quả cho thấy
các công ty kiệt quệ có tỷ số tài chính kém hơn so với các công ty không kiệt quệ
trong giai đoạn trước khi kiệt quệ.
Tiếp theo, kiểm định tách đôi được thực hiện để kiểm tra khả năng dự báo của các
tỷ số tài chính. Kiểm định được thực hiện bằng cách phân chia ngẫu nhiên các công
ty trong mẫu thành 2 mẫu con. Với một tỷ số tài chính cho trước, một điểm cắt tối
ưu (optimal cutoff) sẽ được xác định ở mỗi mẫu con. Các điểm cắt tối ưu của mẫu
con này sẽ được sử dụng để phân loại cho mẫu con kia và ngược lại. Beaver nhận
thấy rằng có 6/30 tỷ số là có ý nghĩa lớn để dự báo kiệt quệ, đó là những tỷ số có
“lỗi” phân loại thấp nhất:


Thứ nhất,



Thứ hai,



Thứ ba,



Thư tư,



Thứ năm,

𝑑ò𝑛𝑔 𝑡𝑖ề𝑛 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑡ừ ℎ𝑜ạ𝑡 độ𝑛𝑔 𝑘𝑖𝑛ℎ 𝑑𝑜𝑎𝑛ℎ
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑛ợ

𝑙ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑠𝑎𝑢 𝑡ℎ𝑢ế 𝑣à 𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑛ợ

𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛

,

,

𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛−𝑛ợ 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛
𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛
𝑛ợ 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛

,

,

,

9



Thứ sáu, tỷ số 𝑁𝐶𝐼 =

𝑇à𝑖 𝑠ả𝑛 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛 (𝑡𝑟ừ 𝑐ổ 𝑝ℎ𝑖ế𝑢)−𝑁ợ 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛

.

(𝐷𝑜𝑎𝑛ℎ 𝑠ố−𝐿ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡ℎ𝑢ế−𝐾ℎấ𝑢 ℎ𝑎𝑜)/365

Cuối cùng là phân tích khả năng dự báo, bao gồm kiểm tra biểu đồ tần số, overlap,
độ xiên (skewness) và phân phối chuẩn của các tỷ số tài chính. Phân tích này cho
thấy các tỷ số tài chính có thể dự báo kiệt quệ tài chính vào khoảng thời gian 5 năm
trước khi kiệt quệ xảy ra.
2.1.2. Mô hình Z-score của Altman (1968)
Khác với Beaver, Altman sử dụng phương pháp phân tích phân biệt đa biến (MDA)
để tìm ra phương trình tuyến tính của các tỷ số tài chính để xác định công ty nào là
phá sản và công ty nào là không phá sản. Ông chọn ra 33 công ty phá sản trong suốt
các năm 1946 đến 1965. Giống như Beaver, ông chọn 33 công ty không phá sản
bằng cách sử dụng phương pháp bắt cặp, trong đó, từng cặp công ty phải thuộc cùng
một ngành và có quy mô như nhau. Altman chọn 22 tỷ số tài chính dựa trên tính
phổ biến trong các nghiên cứu trước. Cuối cùng, ông tìm được 5 tỷ số tài chính làm
tốt việc xác định các công ty là phá sản hay không phá sản khi đứng cùng nhau:
𝑍 = 0,012𝑊𝐶𝑇𝐴 + 0,014𝑅𝐸𝑇𝐴 + 0,033𝐸𝐵𝐼𝑇 + 0,006𝑀𝐸𝑇𝐿 + 0,999𝑆𝑇𝐴 (2.2)
Trong đó:


WCTA: vốn luân chuyển trên tổng tài sản,



RETA: thu nhập giữ lại trên tổng tài sản,



EBIT: thu nhập trước thuế và lãi vay trên tổng tài sản,



METL: giá trị vốn hóa thị trường trên giá trị sổ sách của tổng nợ,



STA: doanh thu trên tổng tài sản,



Z: điểm số Z để phân loại.

Điểm phân loại của mô hình là:

10



Z > 2,99: Vùng an toàn



1,81 < Z < 2,99: Vùng xám



Z < 1,81: Vùng kiệt quệ

Bảng 2.1: Kết quả dự báo của mô hình Altman (1968)
Số lượng

Phần trăm

Phần trăm

chính xác

chính xác

sai số

n

Loại 1

31

94

6

33

Loại 2

32

97

3

33

63

95

5

66

Tổng
cộng

Thực tế

Dự báo
Nhóm 1

Nhóm 2

Nhóm 1

31

2

Nhóm 2

1

32

Nguồn: Altman, E. I. (1968). Financial Ratios, Discriminant Analysis and Prediction of Corporate
Bankruptcy, Journal of Finance 23(4), p. 589.

Các công ty với Z-score thấp hơn so với điểm cắt sẽ bị phân loại vào nhóm phá sản
và ngược lại. Theo đó, Z-score càng thấp thì càng cho thấy rủi ro tài chính đang rất
cao. Với phương trình này, Altman dự báo chính xác 95% tình trạng của các công ty
trong mẫu ở thời điểm 1 năm trước khi kiệt quệ xảy ra. Đồng thời, mô hình của
Altman dự báo chính xác hơn so với mô hình đơn biến của Beaver.
Đến năm 1977, Altman, Haldeman và Narayanan phát triển một mô hình thứ hai từ
mô hình Z-score gốc với một vài sự nâng cấp. Mô hình mới, được gọi là ZETA, có
độ chính xác cao hơn trong việc dự báo các công ty phá sản so với mô hình Z-score
cũ và tăng thời gian dự báo lên 5 năm trước khi xảy ra kiệt quệ.

11

Bảng 2.2: So sánh kết quả của mô hình ZETA (1977) và mô hình Z-score của Altman
(1968)
Số năm trước
khi xảy ra phá

Mô hình ZETA

Mô hình Altman (1968)

Phá sản

Không phá sản

Phá sản

Không phá sản

1

96,2

89,7

93,9

97,0

2

84,9

93,1

71,9

93,9

3

74,5

91,4

48,3

n.a.

4

68,1

89,5

28,6

n.a.

5

69,8

82,1

36,0

n.a.

sản

Nguồn: Altman, E. I. (1993). Classification Results, Two Statements Prior to Bankruptcy.

Vì tính độc quyền của mô hình ZETA nên Altman và cộng sự (1977) chỉ cung cấp
thông tin 7 biến được sử dụng trong mô hình:
𝑙ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡ℎ𝑢ế 𝑣à 𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦



𝑋1 =



𝑋2 = độ 𝑙ệ𝑐ℎ 𝑐ℎ𝑢ẩ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑋1 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 5 − 10 𝑛ă𝑚,



𝑋3 =

𝑙ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡𝑟ướ𝑐 𝑡ℎ𝑢ế 𝑣à 𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦



𝑋4 =

𝑙ợ𝑖 𝑛ℎ𝑢ậ𝑛 𝑔𝑖ữ 𝑙ạ𝑖



𝑋5 =

𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛



𝑋6 =

𝑠ố 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑐ổ 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎườ𝑛𝑔 𝑥 𝑔𝑖á 𝑚ộ𝑡 𝑐ổ 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ℎườ𝑛𝑔



𝑋7 = 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛,

𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛

𝑙ã𝑖 𝑣𝑎𝑦
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛
𝑛ợ 𝑛𝑔ắ𝑛 ℎạ𝑛

,

,

,

,
𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡à𝑖 𝑠ả𝑛

,

2.2. Mô hình phân tích logit
2.2.1. Mô hình phân tích logit của Ohlson (1980)
Không giống như phân tích phân biệt - chỉ xác định được công ty là có vấn đề về tài
chính hay không, phân tích logit còn có thể xác định được xác suất xảy ra rủi ro tài
chính của công ty. Các hệ số của mô hình phân tích logit được ước lượng bằng

12

phương pháp “hợp lý cực đại” (maximum likelihood). Phân tích logit sử dụng hàm
số xác suất tích lũy logistic để dự báo rủi ro. Kết quả của hàm số có giá trị trong
khoảng 0 và 1, đó là xác suất xảy ra kiệt quệ tài chính, có dạng như phương trình
sau:
𝑃 (𝑂 ) =

1
1+𝑒 −𝑂

=

1
1+𝑒 −(𝛽1 +𝛽2 𝑥2+⋯+𝛽𝑛 𝑥𝑛 )

(2.3)

Trong đó:


Βi (i = 1, 2, …, n) = hệ số,



xi (i = 1, 2, …, n) = biến độc lập, tỷ số tài chính.

Nhà nghiên cứu đầu tiên sử dụng phân tích logit trong dự báo kiệt quệ tài chính là
Ohlson (1980). Ohlson phê bình phương pháp phân tích phân biệt đa biến (DA) vì
các giới hạn như đòi hỏi sự giống nhau của ma trận hiệp phương sai giữa nhóm
công ty kiệt quệ và nhóm công ty không kiệt quệ, đồng thời, cũng đòi hỏi các biến
có phân phối chuẩn. So với phân tích phân biệt (DA), lợi thế của phân tích logit là
thoát khỏi các giả định về phân phối chuẩn và ma trận hiệp phương sai. Ông cũng
chỉ trích điểm số Z-score từ phương pháp phân tích phân biệt không cung cấp thông
tin về xác suất xảy ra kiệt quệ của một công ty, mà chỉ cho biết một công ty là kiệt
quệ hay không kiệt quệ. Để khắc phục vấn đề này, ông sử dụng phân tích logit để
ước lượng xác suất xảy ra rủi ro tài chính.
Ohlson trích xuất dữ liệu các công ty có vấn đề về tài chính từ báo cáo tài chính 10K3. Ông lấy 105 công ty phá sản và 2058 công ty không phá sản trong thời kỳ 1970
đến 1976. Các chỉ số dự báo của nghiên cứu được chọn lựa từ các nghiên cứu trước
đó. Mô hình của Ohlson có 9 biến, đó là:

3

Báo cáo tài chính 10-K là báo cáo chi tiết về tình hình tài chính hàng năm của các công ty đại chúng dựa
theo quy định của Ủy ban chứng khoán quốc gia Hoa Kỳ (SEC). Trong đó, báo cáo phải có đầy đủ các thông
tin chi tiết về: lịch sử công ty, cơ cấu tổ chức, vốn chủ sở hữu, số lượng cổ phần, các công ty con, v.v…

13

𝑂 = −1,32 − 0,407𝑆𝐼𝑍𝐸 + 6,03𝑇𝐿𝑇𝐴 − 1,43𝑊𝐶𝑇𝐴 + 0,0757𝐶𝐿𝐶𝐴 −
2,37𝑁𝐼𝑇𝐴 − 1,83𝐹𝑈𝑇𝐿 + 0,285𝐼𝑁𝑇𝑊𝑂 − 1,72𝑂𝐸𝑁𝐸𝐺 − 0,521𝐶𝐻𝐼𝑁 (2.4)
Trong đó:


SIZE: log của tổng tài sản/chỉ số giảm phát GNP,



TLTA: tổng nợ chia tổng tài sản,



WCTA: vốn luân chuyển chia tổng tài sản,



CLCA: nợ ngắn hạn chia tài sản ngắn hạn,



OENEG: bằng 1 nếu tổng nợ lớn hơn tổng tài sản, bằng 0 nếu ngược lại,



NITA: thu nhập ròng chia tổng tài sản,



FUTL: dòng tiền hoạt động chia tổng nợ,



INTWO: bằng 1 nếu thu nhập ròng là âm trong 2 năm, bằng 0 nếu ngược lại,



CHIN: = (NIt – NIt-1)/([NIt] + [NIt-1]), trong đó NIt là thu nhập ròng kỳ gần
nhất. Biến này nhằm mục đích đo lường sự thay đổi trong thu nhập ròng.

Mô hình Ohlson ở trên là mô hình 1 của nghiên cứu với độ chính xác đạt 96,12%.
Tổng thể, Ohlson xây dựng 3 mô hình: mô hình dự báo trước 1 năm, mô hình 2 dự
báo trước 2 năm và mô hình 3 dự báo trước 1 năm hoặc 2 năm.
2.2.2. Mô hình phân tích logit của Shuangjie Li, Shao Wang (2014) 4
Là một nghiên cứu thực nghiệm trên bộ dữ liệu các công ty Trung Quốc có mức độ
dự đoán chính xác của mô hình rất cao cho các dữ liệu trong và ngoài mẫu lần lượt
là 97,1% và 94,1%, cao hơn so với kết quả của các nghiên cứu trước đây. Kết quả
của nghiên cứu cho thấy rằng mô hình logit đề xuất của tác giả đã được cải thiện về
tính chính xác của dự báo và độ ổn định cao. Bài viết này lựa chọn 17 công ty
Trung Quốc niêm yết, được gọi là các công ty ST trong năm 2009, những công ty
này có lợi nhuận âm trong hai năm liên tiếp (2007-2008), và đồng thời lựa chọn 17
4

Shuangjie Li, Shao Wang, 2014. A financial early warning logit model and its efficiency verification
approach. Knowledge-Based Systems.

14

công ty Trung Quốc được liệt kê trong cùng một ngành mà có lợi nhuận tích cực
tương ứng từng cặp. Các dữ liệu của năm 2006 đã được lựa chọn cho dự đoán của
năm 2009. Tất cả các dữ liệu tài chính được lấy từ cơ sở dữ liệu CCER (Trung tâm
Nghiên cứu Kinh tế Trung Quốc, Đại học Bắc Kinh) và báo cáo tài chính của các
công ty Trung Quốc niêm yết.
Để phản ánh đầy đủ hiệu suất hoạt động của các công ty khi xây dựng mô hình
logit, tác giả thiết lập 6 hạng mục theo 13 chỉ tiêu tài chính từ hàng trăm chỉ tiêu và
tỷ sổ tài chính vào mô hình logit đề xuất. Chỉ số lợi nhuận: X1-tỷ lệ lợi nhuận trên
vốn chủ sở hữu của cổ đông thường, X2-lợi nhuận trên tổng tài sản; Chỉ số tăng
trưởng: X3- tốc độ tăng trưởng ròng tài sản, X4- tốc độ tăng trưởng thu nhập hoạt
động, X5- tốc độ tăng trưởng lợi nhuận ròng; Chỉ số lưu chuyển: X6-tỷ số thanh
khoản, X7-tỷ số thanh toán nhanh; Chỉ số tiền mặt: X8- tỷ số tiền trên nợ ngắn hạn,
X9-tỷ số tiền trên nợ; Chỉ số cấu trúc: X10-tỷ lệ nợ trên tài sản; Chỉ số bán hàng:
X11- tỷ số hàng tồn kho trên doanh thu, X12-doanh thu của các khoản phải thu,
X13- tỷ số doanh thu trên tổng tài sản.
Trong nghiên cứu, tác giả định nghĩa công ty ST trong năm 2009 là 1, công ty
không thuộc ST là 0. Theo định nghĩa này có biến giả cho 13 chỉ tiêu tài chính của 6
hạng mục, phương pháp “forward screeming Wald” được sử dụng để tự động lọc và
đưa các biến có ảnh hưởng đáng kể đến mô hình, và sau đó các giá trị xác suất được
tính toán bằng cách sử dụng dữ liệu của các biến trong năm 2006 với mức ý nghĩa
0,05. Như vậy, kết quả cuối cùng của mô hình có thể đảm bảo rằng các biến còn lại
có tác động đáng kể đến kết quả dự báo và đảm bảo sự đơn giản của mô hình, vì chỉ
có các biến quan trọng nhất được lựa chọn.
Qua kết quả hồi quy, 2 trong số 13 biến ban đầu còn lại là tỷ số lợi nhuận trên tổng
tài sản X2 và tốc độ tăng trưởng lợi nhuận ròng X5 được giữ lại, và được thể hiện
theo phương trình sau:

15

(2.5)
2.3. Mô hình phân tích bao dữ liệu DEA5 (Data Envelopment Analysis)
2.3.1. Sơ lược về sự hình thành, quá trình phát triển của phương pháp phân tích
bao dữ liệu (DEA)
Phương pháp phân tích bao dữ liệu (DEA) – phương pháp phân tích hiệu quả hoạt
động sản xuất của các tổ chức, doanh nghiệp đã được nghiên cứu, sử dụng khá
nhiều trong các bài báo, công trình nghiên cứu khoa học quốc tế về kinh tế. Tuy
nhiên, ứng dụng DEA ở Việt Nam hiện nay còn hạn chế, phương pháp này vẫn còn
tương đối mới, chưa được tiếp cận, áp dụng nhiều trong các nghiên cứu đánh giá
hiệu quả hoạt động của các tổ chức, doanh nghiệp. Do tài liệu trong nước về
phương pháp luận của phương pháp DEA đến nay hầu như không có nhiều.
Phương pháp phân tích bao số liệu sử dụng kiến thức về mô hình toán tuyến tính,
mục đích là dựa vào số liệu đã có để xây dựng một mặt phẳng phi tham số (mặt
phẳng giới hạn sản xuất). Khi đó, hiệu quả hoạt động của các tổ chức, doanh nghiệp
sẽ được tính toán dựa theo mặt phẳng này.
Phương pháp phân tích bao số liệu dùng để xây dựng đường giới hạn sản xuất, được
đề xuất đầu tiên bởi Farrell (1957). Một thời gian dài sau đó, phương pháp này chỉ
được quan tâm bởi một số ít nhà khoa học (Coelli et al., 2005). Sau đó, các tác giả
Boles (1966), Sephard (1970) và Afriat (1972) đã đề xuất các mô hình toán học có
thể giải quyết hiệu quả các bài toán có liên quan đến tính toán hiệu quả, năng suất
của các doanh nghiệp. Tuy nhiên, vào thời điểm đó các phương pháp này vẫn chưa
5

DEA được phát triển đầu tiên bởi Farrell(1957), Charnes, Cooper and Rhod (1978) và Banber, Charnes
and Cooper (1984).

16

nhận được sự ủng hộ rộng rãi. Theo Coell (2005), tình trạng này xảy ra cho đến khi
khái niệm và phương pháp “phân tích bao số liệu” được sử dụng trong bài báo của
Charnel, Cooper (1978). Năm 1978, Charnel, Cooper and Rhodes cũng đề xuất một
phương pháp với giả thiết tối thiểu hoá đầu vào và với điều kiện kết quả sản xuất
không thay đổi theo quy mô. Sau này, các bài báo của Fare, Grosskopf và Logan
(1983); Banker, Charnes, Cooper (1984) còn đề cập tới một số giả định khác và xây
dựng thêm mô hình phân tích bao số liệu với điều kiện kết quả sản xuất thay đổi
theo quy mô. Gần đây, các nhà nghiên cứu bắt đầu nghiên cứu thêm một số mô hình
phân tích DEA mở rộng nhằm khắc phục một số hạn chế của DEA cũng như mở
rộng sự ứng dụng của nó trong phân tích kinh tế.
Phương pháp DEA có thể áp dụng cho phân tích hiệu quả hoạt động sản xuất của
các công ty, trang trại, hộ sản xuất. Dựa vào nhiều nghiên cứu trước đó, Coelli và
các cộng sự (2005) đã thiết lập mô hình phân tích DEA với điều kiện kết quả sản
xuất không đổi theo quy mô. Các bước cơ bản sẽ được trình bày dưới đây. Giả sử ta
có dữ liệu của K công ty, mỗi công ty sử dụng N đầu vào và M đầu ra. Với công ty
thứ i, dữ liệu về đầu vào được thể hiện bằng véctơ cột xi và đầu ra được diễn tả
bằng véctơ cột qi . Như vậy, số liệu đầu vào và đầu ra của tất cả các công ty được
thể hiện bằng ma trận X (N x K) và ma trận Q (M x K).
Phương pháp sử dụng các “tỷ lệ” được xem là phương pháp trực quan mô tả phân
tích bao số liệu (DEA). Với mỗi công ty, chúng ta sẽ đo tỷ lệ của tổng số lượng các
sản phẩm đầu ra trên tổng số lượng các đầu vào đã sử dụng (u’qi/v’xi) với u là véc
tơ số lượng đầu ra (M x 1); v là véc tơ số lượng đầu vào (N x 1). Số lượng đầu vào
và đầu ra tối ưu của công ty thứ i được tìm ra qua việc giải mô hình toán sau:
max u,v (u’qi/v’xi)
S.t. u’qj/v’xj ≤ 1
u, v ≥ 0

j = 1,2,3….K

(2.12)

17

Từ bài toán này ta có thể tìm được các số lượng đầu vào và đầu ra của công ty thứ i
sao cho hệ số hiệu quả của nó (tổng đầu ra/ tổng đầu vào) là lớn nhất với điều kiện
là hệ số hiệu quả của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Một vấn đề khó khăn có thể xảy ra là có rất nhiều lời giải cho bài toán trên (ví dụ:
nếu u* v* là nghiệm thì 2u* 2v* cũng là nghiệm của bài toán). Để khắc phục vấn đề
này, điều kiện v’xi được đưa vào mô hình toán. Do vậy, ta có: Sự thay đổi ký hiệu
từ u và v sang θ, λ và hàm ý rằng ta đã xét đến một mô hình toán tuyến tính tương
tự khác. Sử dụng tính chất đối ngẫu của mô hình toán tuyến tính chúng ta có thể
phát triển một dạng mô hình đường bao số liệu tương ứng như sau:

(2.13)
Dạng mô hình đường bao số liệu tương ứng này có ít điều kiện tham chiếu hơn dạng
mô hình phức toán tuyến tính và vì vậy nó thường được áp dụng. Theo Farrell
(1957) khi thì mức độ hiệu quả hoạt động của công ty thứ i sẽ có vị trí trên đường
giới hạn sản xuất; và vì vậy nó sẽ là công ty hoạt động hiệu quả về mặt kỹ thuật.
Lưu ý là bài toán mô hình tuyến tính cần được giải K lần, mỗi lần cho một công ty,
mỗi một giá trị tương ứng cho một công ty.
Mô hình toán tuyến tính (2.13) cung cấp cho chúng ta những lý giải khá lý thú và
hữu ích. Trước hết, công ty thứ i sẽ được quan tâm để phân tích, bài toán tập trung
vào việc thu hẹp vectơ đầu vào càng nhiều càng tốt trong khi vẫn phải đảm bảo điều
kiện nằm trong giới hạn cho phép các đầu vào cần cho hoạt động sản xuất. Đường
bao giới hạn các “đầu vào” cho phép là một đường đẳng lượng (có tính chất tuyến
tính, từng mảng liên tục), được xác định bởi các số liệu (đầu ra và đầu vào của các