Tải bản đầy đủ
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT

III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT

Tải bản đầy đủ

2.3.3.Gii phỏp th ba: Phõn dng cỏc dng toỏn c bn trong chuyờn
toỏn chia ht lp 6.
Trong phn ny tụi chia theo tng dng d dng cho ngi dy v ngi hc
tham kho, la chn mt s bi cho HS lm t d n khú. Mt bi cú th vn
dng theo nhiu cỏch khỏc nhau, phỏt trin cho HS tớnh linh hot trong quỏ trỡnh
gii toỏn
1.Dng 1: Tỡm cỏc ch s cha bit ca mt s
Bi toỏn 1: Tỡm cỏc ch s a v b sao cho 19ab chia ht cho 5 v 8
Nhn xột: tỡm c a v b ta phi thy c hai du hiu c bn ú l s ú
chia ht cho 5 v 8
Gii
Vỡ 19ab chia ht cho 5 nờn b = 0 hoc b = 5 v 19ab chia ht cho 8 nờn
suy ra b = 0
Mt khỏc, 19a0 chia ht cho 8 nờn 19a0 chia ht cho 4 khi a0 chia ht cho 4 suy ra
a {0;2;4;6;8}. Ta cú 19a0 chia ht cho 8 khi 9a0 chia ht cho 8 nờn a=2 hoc
a=6. Vy nu a=2 thỡ b=0 v nu a=6 thỡ b=0 nờn s cm tỡm l 1920 v 1960
Bi toỏn 2: "Tỡm cỏc ch s a v b sao cho 56a3b chia ht cho 2 v 9". [1]
Nhn xột: tỡm c a v b ta phi thy c hai du hiu c bn ú l s ú
chia ht cho 2 v 9
Gii
Vỡ s 56a3b 2 nờn b = { 0;2;4;6;8}
S 56a3b 9 5 + 6 + a + 3 + b = 14 + a + b 9
+ Vi b = 0 v 0 a 9 ta c a = 4 tho món
+ Vi b = 2 v 0 a 9 ta c a = 2 tho món
+ Vi b = 4 v 0 a 9 ta c a = 0 tho món
+ Vi b = 6 v 0 a 9 ta c a = 7 tho món
+ Vi b = 8 v 0 a 9 ta c a = 5 tho món
Vy cỏc s (a;b) tho món l: (a;b) = (0;4) ; (2;2) ; (4;0) ; (5;8) ; (7;6)
Bi toỏn 3: "Tỡm cỏc ch s a v b sao cho a2017b chia ht cho 90". [ 2]
Nhn xột: tỡm c a v b ta phi thy c s 90 = 9.10 m (9;10) = 1 nờn
s a2017b chia ht cho 90 thỡ s a2017b chia ht cho 9 v a2017b chia ht cho 10
T ú vn dng hai du hiu c bn ú l s ú chia ht cho 10 v 9
Gii
Ta cú 90 = 9.10 m (9;10) = 1 nờn
a2017b 90 thỡ a2017b 9 v a2017b 10
a2017b 10 b = 0
vi b = 0 ta cú s a 20170 9 a + 2 + 0 + 1 + 7 + 0 = a + 10 9
m 0 < a 9 nờn a = 8
Vy a = 8; b = 0
Bi toỏn 4: "Tỡm cỏc ch s x, y sao cho 2014 xy 42 ". [ 3]
Nhn xột: tỡm c x v y ta phi phõn tớch c s
2014 xy = 201400 + xy = 42 . 4795 + 10 + xy t ú da vo du hiu chia ht ca
mt tng ta tỡm c xy
Gii
6

Ta cú 2014 xy = 201400 + xy = 42 . 4795 + 10 + xy 42 10 + xy 42
Do 0 xy < 100 nờn xy { 32;74} . Vy (x; y) = (3; 2), (7; 4)

Bi toỏn 5: "Tỡm cỏc ch s x; y A = x183y chia cho 2; 5 v 9 u d 1". [ 4]
Nhn xột: Nu A chia ht cho 2 v 5 thỡ y = 0 nhng theo bi A = x183y chia
cho 2; 5 u d 1 nờn ta tỡm c y = 1
A = x183y chia cho 9 d 1 x1831 1 M9 t ú da vo du hiu chia ht cho
9 ta tỡm c x.
Gii
Do A = x183y chia cho 2 v 5 u d 1 nờn y = 1.Ta cú A = x1831
Vỡ A = x1831 chia cho 9 d 1 x1831 1 M9 x1830 M9
x + 1 + 8 + 3 + 0 M9 x + 3 M9, m 0< x 9 nờn x = 6
Vy x = 6; y = 1
Bi toỏn 6 : Ch s a l bao nhiờu aaaaa96 chia ht cho c 3 v 8
Nhn xột: aaaaa96 chia ht cho c 3 v 8 m ba ch s tn cựng l a96 nờn ta s
chn du hiu chia ht cho 8 tỡm a ri sau ú th li vi trng hp chia ht
cho 3
Gii
Vỡ aaaaa96 8 a96 8 100a + 96 8 100a 8
Vy a l s chn a { 2, 4, 6, 8} (1).
Vỡ aaaaa96 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3
m 15 3 5a 3
m (5, 3) = 1
Suy ra a 3 vy a { 3, 6 ,9} (2).
t (1) v (2 ) suy ra a = 6
Kt lun: Vy s phi tỡm l 6666696.
Bài toán 7 : Tỡm cỏc ch s a ; b sao cho a b = 4 v 7 a5b1 chia ht cho 3
Gii
Ta cú s 7 a5b1 3 7 + a + 5 + b + 1 3 a + b + 13 3
(1)
Mt khỏc a b = 4 m 0 b 9 0 < a 9 nờn ta cú
a=4
a=5
a=6
a=7
a=8
a=9
(2)
b=0
b=1
b=2
b=3
b=4
b=5
T (1) v (2) ta c cỏc giỏ tr (a;b) tho món l (a;b) = (6;2) ; (9;5)
2.Dng 2: Chng minh chia ht i vi biu thc s
Bi toỏn 8 : "Cho A = 2 + 22 + 23+ + 260
Chng minh rng: A chia ht cho 3; 7 v 15". [ 5]
Nhn xột: Vi dng toỏn ny ta thng nhúm cỏc s hng thnh cỏc nhúm t
tha s chung ri ỏp dng tớnh cht chia ht ca mt tớch.
Gii
Ta cú:

A = 2 + 22 + 23++ 260
7

= 2(1+2)+ 23 (1+2)++ 259 (1+2)
= 3 (2 + 23 + 25++ 259)
= 3 (2 + 23 + 25++ 259) 3
Ta cú
A = 2 + 22 + 23++ 260
= 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + + 258 (1 + 2 + 22)
= 2 . 7 + 24.7 + + 258.7
= 7 (2 + 24 + + 258) 7
Ta cú A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + +257(1 + 2 + 22 + 23)
= 2. 15 + 25.15 + + 257.15
= 15( 2 + 25 + + 257) 15
KL: Vy A chia ht cho 3,7 v 15.
Bi toỏn 9: "Cho A = 3 + 32 + 33+ + 390 Chng minh rng A chia ht
cho 11 v 13". [ 6]
Nhn xột: Dóy s ca A cú 90 s hng ta nhúm thnh cỏc nhúm mi nhúm 5 s
hng ri t tha s chung s xut hin tha s chia ht cho 11.Nhúm mi nhúm 3
s hng ri t tha s chung s cú tha s chung chia ht cho 13.
Gii
* Chng minh A 11
Ta cú
A = 3 + 32 + 33+ + 390
= (3 + 32 + 33+ 34+ 35) +(36 + 37 + 38+ 39+ 310) ++ (386+387+388+389+ 390)
= 3 (1 + 3 + 32+33+ 34) +36(1 + 3 + 32+33+ 34) +.+ 386(1+3+32+33+ 34)
= 121. (3 + 36 ++386 ) 11
* Chng minh A 13
Ta cú A = 3 + 32 + 33+ + 390
= (3 + 32 + 33)+(34+ 35+ 36) ++ (388+389+ 390)
= 3(1 + 3 + 32)+ 34(1 + 3 + 32)+.+ 388(1+3+32)
= 13. (3 + 34 ++388 ) 13
Kt lun : Vy A chia ht cho 11 v 13.
Bi toỏn 10: Chng minh rng 4343 1717 chia ht cho 5
Nhn xột:
Vi dng toỏn ny ta khụng th tớnh c th hay phõn tớch cú tha s chia ht
cho 5 c vn t ra l ta phi chn n v kin th no lm dng toỏn ny.
p dng kin thc v ch s tn cựng hay ng d?
Ta cú 4343= 4340. 433= (434)10.4343
Ta cú 433 cú tn cựng l ch s 1 nờn 43 4 cú tn cựng l ch s 1 hay 43 40 cú tn
cựng l ch s 1
4343 cú tn cựng l ch s 7. Vy 43 40.433 cú tn cựng l ch s 7 hay 43 3 cú tn
cựng l ch s 7
8

Ta cú 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17
Vỡ 174 cú tn cựng l 1 nờn (17 4 ) 4 cng cú tn cựng l 1 hay 176 cng cú tn cựng l
1. Do ú 1716.17 cú tn cựng l 7
Hai s 4343 v 1717 cú ch s tn cựng ging nhau nờn 4343-1717 cú ch s tn cựng
l 0, Suy ra 4343-1717 chia ht cho 5
Gii
Cỏch 1:
Ta cú 4343 = 4340. 433 = (434)10.4343 = ...1 . ...7 = ...7
1717 = 1716 .17 = (174)4. 1 = ...1 . ...7 = ...7
4343 1717 = ...7
4343 1717 5

Cỏch 2:
Ta cú 43
43 2
43 4
43 40
43 43

...7 = ...0

3(mod 10)
9(mod 10)
9 2 1(mod 10)
1 10 1(mod 10)
= 43.43 2 . 43 40 3.9.1 7(mod 10)

17 7(mod 10)
17 2 9(mod 10)
17 4 9 2 1(mod 10)
17 16 1 4 1(mod 10)
17 17 =17. 17 16 7.1 7(mod 10)
Vy 43 43 17 17 7 7 (mod 10) 0(mod 10)
43 43 17 17 10
43 43 17 17 5
Vy 43 43 17 17 5
Bi toỏn 11: Chng minh rng 2139+3921 chia ht cho 45
Gii

Ta cú: 21 1 (mod 20)
39 1 (mod 20)

Vy 2139 + 3921 139+ (1)21 0 (mod 20)
Nh vy 2139 + 3921 20; do ú 2139 + 3921 5
Tng t ta chng minh 2139 + 3921 9 m (5;9) = 1 nờn 2139 + 3921 5.9
2139 + 3921 45

Kt lun: Vy 2139 + 3921 chia ht cho 45
1
2

Bi toỏn 12: "Cho A = (7 2012
cho 5". [ 7]

2015

94

392 ) . Chng minh A l s t nhiờn chia ht

9

Gii
Vì 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên 20122015 và 9294 cũng là bội của
2015
*
96
*
4 2012 = 4.m ( m N ) ;92 = 4.n ( n N )
Khi đó 7 2012 392 = 7 4 m 34 n = ( 7 4 ) ( 34 ) = ( ...1) ( ...1) = ...0
tức là 7 2012 392 có tận cùng bằng 0 hay 7 2012 392 M10
Dễ thấy 7 2012 392 > 0 mà 7 2012 392 M10 suy ra
2015

m

94

2015

94

2015

94

n

2015

2015

94

94

1 20122015 9294
(7
3 ) = 5.k; k N . Suy ra A l s t nhiờn chia ht cho 5
2
Bi toỏn 13:"Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + 8
Chng minh rng A chia ht cho 24". [ 8]
A=

Gii
Cỏch 1
3
2009
2008
2007
2006
2009
2008
2007
2006
Ta cú : A = 10 ( 10 + 10 + 10 + 10 ) + 8 = 8.125 ( 10 + 10 + 10 + 10 ) + 8

(

)

A = 8. 125 102009 + 102008 + 102007 + 102006 + 1 M
8 (1)

Ta li cú cỏc s : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 cú tng tng cỏc ch s bng 1, nờn
cỏc s 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 u cú s d bng 1
8 chia cho 3 d 2.
Vy A chia cho 3 cú s d l d ca phộp chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay d ca phộp chia 6 chia cho 3 (cú s d bng 0)
Vỡ 8 v 3 l hai s nguyờn t cựng nhau nờn A chia ht cho 8.3 = 24
Vy A 3
Cỏch 2
111100 .... 08
A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + 8 =
2008 số0

S A cú 3 ch s tn cựng 008 chia ht cho 8
Li cú tng cỏc ch s ca A l 12 chia ht cho 3
Vỡ 8 v 3 l hai s nguyờn t cựng nhau nờn A chia ht cho 8.3 = 24

101995 + 8
Bi toỏn 14: Chng minh rng s
l s t nhiờn
9
101995 + 8
Nhn xột: chng minh s
l s t nhiờn ta cn phi chng minh
9
10 1995 + 8 9
Giải:

100 .... 0

Ta cú: 101995 + 8 =

1995 số0

100....08
+ 8 = .
1994 số0

100....08
Vỡ s cú tng cỏc ch s l:
1994 số0

1 + 0 + 0 + .... + 0 + 8 = 9 chia ht cho 9 do ú
(10

1995

101995 + 8
+ 8 ) 9, hay
l s t nhiờn.
9

Dng 3: Chng minh chia ht i vi biu thc cha ch
10

Bi toỏn 15: Chng minh rng:
a)Tớch ca 2 s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho 2
b)Tớch ca ba s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho 3
c) Tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho 4
Gii
a) Trong 2 s t nhiờn liờn tip bao gi cng cú 1 s chn
S chn ú chia ht cho 2.
Vy tớch ca hai s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho 2.
b) Gi ba s t nhiờn liờn tip l n; n + 1; n + 2
Tớch ca ba s t nhiờn liờn tip l n(n+1)(n+2)
Mt s t nhiờn khi chia cho 3 cú th nhn mt trong cỏc s d 0; 1; 2
Nu r = 0 thỡ n 3 n(n+1)(n+2) 3
Nu r = 1 thỡ n = 3k + 1 (k N)

n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) 3.
n.(n + 1).(n + 2) 3.
Nu r = 2 thỡ n = 3k + 2 (k N)
n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) 3.
n.(n +1).(n +2) 3.
Vy n.(n +1).(n +2) 3 vi mi s t nhiờn n
c) Chng minh tng t ta cú n.(n +1).(n +2).(n +3) 4 vi mi s t nhiờn n
Tng quỏt: Tớch ca n s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho n
Bi toỏn 16: Chng minh rng n3 n chia ht cho 6 vi n nguyờn
Gii
Ta chng minh n3 n chia ht cho 2 v chia ht cho 3
Nu n 0 (mod 2) thỡ n3 n 03 0 0 (mod 2)
Nu n 1 (mod 2) thỡ n3 n 13 1 0 (mod 2)
Nh vy vi n nguyờn, n3 n 0 (mod 2) ngha l n3 n chia ht cho 2
Mt khỏc
+ Nu n 0 (mod 3) thỡ n3 n 03 0 0 (mod 3)
+ Nu n 1 (mod 3) thỡ n3 n 13 1 0 (mod 3)
+ Nu n 2 (mod 3) thỡ n3 n 23 2 0 (mod 3)
Vi n nguyờn n3 n 0 (mod 3) ngha l n3 n chia ht cho 3.
Kt lun: Vy n3 n 6 vi n nguyờn
...1 chia ht cho 3.

Bi toỏn 17: Chng minh rng 2n + 11
nchuso

11

Gii
S n v s cú tng cỏc ch s bng n cú cựng s d trong phộp chia cho 9.
...1 n chia ht cho 9.

Do ú 11
nchuso
...1 = 3n + ( 11
...1 n) chia ht cho 3.


Ta cú: 2n + 11
nchuso
nchuso

Bi toỏn 18: Chng minh rng A = 10n + 18n 1 chia ht cho 27.
Gii
...
9 9n + 27n
Ta cú A = 10n + 18n 1 = 10n - 9n + 27n 1 = 99
nchuso
...1 n) + 27n

= 9( 11
nchuso
...1 n) chia ht cho 9 suy ra 9( 11
...1 n) chia


M 27n chia ht cho 27 nờn ( 11
nchuso
nchuso

ht cho 27
Vy 10n + 18n 1 chia ht cho 27.
Bi toỏn 19 : Cho ( abc deg ) 7 . CMR: abc deg 7.
Gii
Ta cú: abc deg

= abc000 + deg
= 1000abc + deg

= 1001abc ( abc deg ) vỡ 1001abc 7
Do ú nu ( abc deg ) 7 thỡ abc deg 7.
Bi toỏn 20: "Cho bit a + 4b chia ht cho 13 (a;b N) chng minh rng
10a + b chia ht cho 13". [ 9]
Nhn xột: t x = a + 4b

y = 10a + b

Ta bit x 13 ta cn chng minh y =10a + b 13
+ H s ca a x l 1,h s ca a y l 10 nờn
- Xột biu thc 10x y nhm kh a tc l lm cho h s ca a bng 0
- Xột biu thc 3x + y nhm to ra h s ca a = 13
+ H s ca b x l 4 h s ca b y l 1 nờn
- Xột biu thc 4y x nhm kh b
- Xột biu thc x + 9y nhm to ra h s ca b bng 13
12

Gii:

t x = a + 4b

Cỏch 1:

y = 10a + b

Xột biu thc

10x y
= 10(a + 4b) (10a + b)
= 10a + 40b 10a b
= 39b 13

Nh vy 10x y 13 do x 13 nờn 10x 13 y 13
Vy a + 4b 13 thỡ 10a + b 13
Cỏch 2:

Xột biu thc 4y x
= 4(10a +b) (a +4b)
= 40a + 4b a 4b
= 39a 13

Nh vy 4y x 13 do x 13 nờn 4y 13 m (4 ; 13) = 1 y 13
Vy a + 4b 13 thỡ 10a + b 13
Cỏch 3: Xột biu thc 3x + y
= 3(a + 4b) + 10a + b
= 3a + 12b + 10a + b
= 13a + 13b
= 13(a + b) 13
Nh vy 3x + y 13 do x 13 nờn 3x 13 y 13
Vy a + 4b 13 thỡ 10a + b 13
Cỏch 4: Xột biu thc

x + 9y
= a + 4b + 9(10a + b)
= a + 4b + 90a + 9b
= 91a + 13b
= 13(7a + b) 13

Nh vy x + 9y 13 do x 13 nờn 9y 13 m (13;9) = 1 y 13
13

Vy a + 4b 13 thỡ 10a + b 13
Bi toỏn 21: "Chng t rng nu 3a + 2b chia ht cho 17 (a,b N) thỡ 10a + b chia
ht cho 17. iu ngc li cú ỳng khụng". [10]
Nhn xột:
t x = 3a + 2b y = 10a + b ta chng minh y 17
Cú th xột cỏc biu thc sau: 2y x ; 8x + y ; 9x y ; 10x 3y;...
Gii:
t x = 3a + 2b y = 10a + b
Xột biu thc 2y x
= 2(10a + b) (3a + 2b)
= 20a + 2b 3a 2b
= 17a 17
Vy nu x 17 thỡ 2y 17 y 17
v ngc li nu 2y 17 y 17 thỡ x 17
Dng 4: Tỡm iu kin mt bi toỏn chia ht cho mt s hoc cho mt biu
thc
Bi toỏn 22:
Tỡm s t nhiờn n sao cho 7 n +1
Gii:

Ta cú 7 n +1 nờn n+1 (7).

M (7) ={1; 7}
* n+1 = 1 n = 0 (tho món)
* hoc n+1 = 7 n = 6 (tho món).
Vy vi n = 0 ; n = 6 thỡ 7 n +1
Bi toỏn 23: Tỡm s t nhiờn n sao cho n +4 n +1
Gii : Ta cú :

n+4
n +1+ 3
3
=
=1+
n +1
n +1
n +1

(n + 4) (n+1) thỡ 3 n+1 hay n+1 (3).
M (3) ={1; 3}
*n+1 = 1 n = 0 (tho món)
*hoc n+1 = 3 n = 2 (tho món).
Vy vi n = 0 ; n = 2 thỡ (n + 4) (n+1)
n + 15

Bi toỏn 24: Tỡm s t nhiờn n n + 3 l s t nhiờn
n + 15

Nhn xột: n + 3 l s t nhiờn thỡ (n + 15) (n + 3) lm tng t nh bi toỏn
trờn ta tỡm c n
Gii:

n + 15

Ta cú: n + 3 l s t nhiờn thỡ (n + 15) (n + 3)

n + 15
n + 3 + 12
12
=
=1+
(n + 15) (n + 3) thỡ 12 n + 3
n+3
n+3
n+3
(n + 3) U(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

14

n {0; 1; 3; 9}.

Vy vi n {0; 1; 3; 9} thỡ

n + 15
l s t nhiờn.
n+3

Bi toỏn 25: Tỡm s t nhiờn n (5n + 14) chia ht cho (n + 2).
Gii:

Ta cú 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
m 5.(n +2) chia ht cho (n +2).
Do ú (5n + 14) chia ht cho (n +2) 4 chia ht cho (n + 2)
(n + 2) U(4)
(n +2) {1 ; 2 ; 4}
n { 0 ; 2} .
Vy vi n {0; 2} thỡ (5n + 14) chia ht cho (n +2).

Bi toỏn 26: Tỡm s t nhiờn n : 32n+3 + 24n +1 25
Gii
t A = 32n+3 + 24n +1
= 27.32n + 2. 24n
= 25 .32n + 2(32n+24n)
= 25 .32n + 2(9n + 16n)
+Nu n l thỡ (9n +16n) 25 do ú A 25
+Nu n chn thỡ 9n cú tn cựng l 1, cũn16n cú tn cựng l 6
2( 9n +16n) cú tn cựng l 4. Vy A khụng chia ht cho 25
Vy vi n l thỡ (32n+3 + 24n +1) 25
Dng 5: Cỏc bi toỏn ỏp dng nguyờn lý irichlờ
- Cỏc bi toỏn s dng nguyờn lý irichlờ thng l cỏc bi toỏn chng minh s
tn ti ca mt s vt, s vic m khụng cn phi ch ra mt cỏch tng minh s
vt, s vic ú.
- Khi gii bi toỏn ỏp dng nguyờn lý irichlờ hoc d oỏn phi ỏp dng nguyờn
lý ny ta cn suy ngh hoc bin i bi toỏn lm xut hin khỏi nim th v
lng, khỏi nim nht th vo lng nhng khi trỡnh by ta c gng trỡnh by
theo ngụn ng toỏn hc thụng thng.
- Khi gii xong cỏc bi toỏn ỏp dng nguyờn tc irichlờ chỳng ta c gng suy
ngh sỏng to ra cỏc bi toỏn tng quỏt hn hoc c th hn cú nh th thỡ mi
nm chc c cỏc bi toỏn ó lm.
Bi toỏn 27: "Trong 7 s t nhiờn bt kỡ. Chng minh rng bao gi cng cú th
chn ra 2 s m hiu ca chỳng chia ht cho 6". [11]
Nhn xột: Ta coi 7 s l 7 con th. 7 con th ny c nht trong my lng? Vn
t ra l ta phi tỡm lng cho th.
Ta bit rng khi chia mt s cho 6 thỡ s d ch cú th l mt trong 6
s:0, 1, 2, 3, 4, 5. Cú 7 s t nhiờn chia cho 6 m ch cú 6 s d nờn theo nguyờn lớ
irichlờ thỡ ớt nht cú 2 s chia cho 6 cú cựng s d. Hiu hai s ny chia ht cho
6.
Gii
15

Khi chia mt s cho 6 thỡ s d r ch cú th ly mt trong 6 giỏ tr l:0, 1, 2, 3, 4,
5.Cú 7 s t nhiờn chia cho 6 m ch cú 6 s d nờn theo nguyờn lớ irichlờ thỡ ớt
nht cú 2 s chia cho 6 cú cựng s d. Hiu 2 s ny chia ht cho 6.
Bi toỏn 28: Cho n + 1 s t nhiờn. Chng minh rng bao gi cng cú th chn ra
2 s m hiu ca chỳng chia ht cho n. (n N*)
Gii
Khi chia mt s cho n thỡ s d r ch cú th ly mt trong n giỏ tr l 0; 1; 2; 3;...; n
1. Cú n + 1 s t nhiờn chia cho n m ch cú n s d nờn theo nguyờn lớ irichlờ
thỡ ớt nht cng cú 2 s cú cựng s d. Hiu hai s ny chia ht cho n.
Bi toỏn 29: "Cho dóy s 10; 102; 103; 104;...; 1020
Chng minh rng tn ti mt s chia cho 19 d 1". [12]
Nhn xột:
Ta coi dóy s 10; 102; 103; 104;...; 1020 l 20 con th
Phộp chia cho 19 cú 19 s d 0; 1; 2; 3;...; 18 l 19 cỏi lng
20 con th m cú 19 cỏi lng nờn cú ớt nht mt cỏi lng cú nhiu hn 2 con th
hay cú hai s cú cựng s d.
Gi 2 s ú l 10n v 10m(m > n; 1 m, n 20)
Ta cú 10m 10n chia ht cho 19
Nờn 10m 10n = 10n(10m-n 1) chia ht cho 19 vỡ ( 10n,19) = 1 nờn
(10m-n 1) chia ht cho 19 hay 10m-n chia cho 19 d 1 (10m-n = 19k +1)
Gii
Phộp chia cho 19 cú 19 s d 0; 1; 2; 3;...; 18
dóy s 10; 102; 103; 104;...; 1020 cú tt c 20 s
Cú 20 s khỏc nhau m ch cú 19 s d do ú tn ti 2 s cú cựng s d trong
phộp chia cho 19
Gi 2 s ú l 10n v 10m(m > n;1 m,n 20)
Ta cú 10m 10n chia ht cho 19
Nờn 10m 10n = 10n(10m-n 1)chia ht cho 19 vỡ ( 10n,19) = 1 nờn
(10m-n 1) chia ht cho 19 hay 10m-n chia cho 19 d 1 (10m-n = 19k +1)
Rừ rng 10m-n l mt s ca dóy (1) vỡ 1 n < m 20.
Tng quỏt:
Qua bi ny ta thy tn ti mt s t nhiờn k > 1 cho 10k 1 chia ht cho 19
Bi toỏn 30:" Cho 3 s l.Chng minh rng tn ti 2 s cú tng hoc hiu chia ht
cho 8". [13]
Nhn xột: Mt s l chia cho 8 thỡ s d l mt trong 4 s: 1; 3; 5; 7
Chia s d ny thnh 2 nhúm
Nhúm 1: d 1 hoc d 7
Nhúm 2: d 3 hoc d 5
Ta coi 3 s l l 3 nhúm v 2 s d l 2 lng.
Gii
Mt s l chia cho 8 thỡ s d l mt trong 4 s: 1; 3; 5; 7
Chia s d ny thnh 2 nhúm
Nhúm 1: d 1 hoc d 7
Nhúm 2: d 3 hoc d 5
Cú 3 s l m ch cú 2 nhúm d nờn tn ti hai s cú cựng mt nhúm
16