Tải bản đầy đủ
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Tải bản đầy đủ

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
a2 − x2

x = a sint,

hoặc
a2 + x2

π
π
≤ t≤
2
2
0≤ t ≤ π

x = a cost,

x = a tant,

hoặc





π
π
< t<
2
2

x = a cot t,

0< t < π

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
du = u '( x)dx
u = u ( x )
⇒

dv = v ( x ) dx v = ∫ v( x) dx ⇒ I = u.v − ∫ vdu
Đặt
Thứ tự ưu tiên đặt u: hm logarit, hm đa thức, hm mũ, hm lượng gic.
2. Tích phân
Định nghĩa: Cho f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;
b]. Khi đó
b

b

òf(x)dx = F(x) a = F(b)- F(a)
a

Tính chất: (SGK)
Phương pháp đổi biến số:
b

I = ò f(x)dx
a

• Đổi biến số dạng 1: Tính tích phân
Đặt x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] sao cho u(α) = a, u(β)= b và a  u(t)  b. Khi đó
b

b

b

I = ò f(x)dx = ò f[u(t)]u'(t)dt = ò g(t)dt
a

a

a

b

I = ò f(x)dx
a

• Đổi biến số dạng 2: Tính tích phân
Đặt u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α  u(x)  β. Khi đó
b

b

b

I = ò f(x)dx = ò g[u(x)]u'(x)dx = ò g(u)du
a

a

a

Phương pháp từng phần: Nếu hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì
b

ò u.dv = u.v
a

b
a

b

-

òv.du
a

3. Ứng dụng của tích phân trong hình học:
Trang 37

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

Diện tích hình phẳng: Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là
b

S = ò f(x) - g(x) dx
a

Thể tích khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
Ox, x = a, x = b quay quanh trục Ox là
b

2

V = pò[ f(x)] dx
a

3.2.Bài tập trắc nghiệm
1) Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +
x 3 3x 2

+ ln x + C
3
2
A.

C.

là:

B.

x 3 − 3x 2 + ln x + C

D.

f (x) =
2. Nguyên hàm của hàm số

ln x − ln x + C
2

A.

1
x

1 1

x x2
1
x

x 3 3x 2 1

+ 2 +C
3
2
x
x 3 3x 2

− ln x + C
3
2

là :

B. lnx - + C
f (x) = e 2x − e x
3. Nguyên hàm của hàm số
là:
1 2x x
e −e +C
2e 2x − e x + C
2
A.
B.
f ( x ) = cos 3x
4. Nguyên hàm của hàm số
là:
1
1
sin 3x + C
− sin 3x + C
3
3
A.
B.
1
f (x) = 2e x +
cos 2 x
5. Nguyên hàm của hàm số
là:
−x
e
)
cos 2 x
A. 2ex + tanx + C
B. ex(2x ∫ sin(3x − 1)dx
6. Tính
, kết quả là:
1
1
− cos(3x − 1) + C
cos(3x − 1) + C
3
3
A.
B.

C. ln|x| +

1
x

+C

D. Kết quả khác

e x (e x − x) + C
C.

C.

D. Kết quả khác

− sin 3x + C

C. ex + tanx + C

D.

−3sin 3x + C

D. Kết quả khác

− cos(3x − 1) + C
C.

Trang 38

D. Kết quả khác

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

7. Tìm

A.

C.

∫ (cos 6x − cos 4x)dx

là:
1
1
− sin 6x + sin 4x + C
6
4

B.

1
1
sin 6x − sin 4x + C
6
4

8. Tính nguyên hàm
ln 1 − 2x + C

1
∫ 1 − 2xdx

D.

6sin 6x − 5sin 4x + C
−6sin 6x + sin 4x + C

ta được kết quả sau:

−2 ln 1 − 2x + C

1
− ln 1 − 2x + C
2

2
+C
(1 − 2x) 2

A.
B.
C.
D.
9. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
1
x α+1
α
∫ x dx = ln x + C
∫ x dx = α + 1 + C (α ≠ −1)
A.
B.
x
1
a
x
∫ cos2 xdx = tan x + C
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)
C.
D.
x
∫ (3cos x − 3 )dx
10. Tính
, kết quả là:
x
3
3x
3sin x −
+C
−3sin x +
+C
ln 3
ln 3
A.
B.
x
3
3x
3sin x +
+C
−3sin x −
+C
ln 3
ln 3
C.
D.
5
f (x) = (1 − 2x)
11. Nguyên hàm của hàm số
là:
1
− (1 − 2x)6 + C
(1 − 2x) 6 + C
5(1 − 2x)6 + C
5(1 − 2x) 4 + C
12
A.
B.
C.
D.
12. Chọn khẳng định sai?
1
2
∫ ln xdx = x + C
∫ 2xdx = x + C
A.
B.
1
dx = − cot x + C

sin
xdx
=

cos
x
+
C

sin 2 x
C.
D.
3
2x + 2
x
13. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
là :
3
3
x2 − + C
x2 + 2 + C
x 2 + 3ln x 2 + C
x
x
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
x
F ( x ) = e + tan x + C
f (x)
14. Hàm số
là nguyên hàm của hàm số
nào?
1
1
1
f (x) = e x − 2
f (x) = e x + 2
f (x) = e x +
sin x
sin x
cos 2 x
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
Trang 39

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

∫ f (x)dx = e

15. Nếu

e + cos 2x

x

+ sin 2x + C

thì

x

A.

f (x)

e − cos 2x

bằng

x

B.

1
e x + cos 2x
2

e + 2 cos 2x
x

C.

16. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1
cos 2x
2cos 2x
−2 cos 2x
2
A.
B.
C.

D.
f (x) = sin 2x

−1
cos 2x
2

D.
f (x) = x + 3x 2 − 2x + 1
3

17.Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1 4
1 4
x + x3 − x2 + x
x + x3 − x2
2
3x + 6x − 2
4
4
A.
B.
C.

f (x) =

D.

3x 2 − 6x − 2

1
2x + 2016

18.Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1
1
ln 2x + 2016
− ln 2x + 2016
ln 2x + 2016
ln 2x + 2016
2
2
A.
B.
C.
D. 2
3x + 3
f (x) = e
19. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1 3x +3
e
3x + 3
3x + 3
e
e
e3x +3
3
A.
B. 3
C.
D. -3
1

J = ∫  + x ÷dx
x

20. Nguyên hàm của hàm số:
là:
1
ln ( x ) + x 2 + C
ln x + x 2 + C
2
A. F(x) =
B. F(x) =
1 2
ln x + x + C
ln ( x ) + x 2 + C
2
C. F(x) =
D. F(x) =
21. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x là:
1
1
sin 6x
sin 5x
6
5
A. cos5x+C
B. sin5x+C
C.
+C
D.
+C
x
x
J = ∫ ( 2 + 3 ) dx
22. Nguyên hàm của hàm số:
là:
x
x
2
3
− 2 x 3x
+
+C
+
+C
ln 2 ln 3
ln 2 ln 3
A. F(x) =
B. F(x) =
x
x
2
3

+C
2x + 3x + C
ln 2 ln 3
C. F(x) =
D. F(x) =

Trang 40

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

F( x)

23. Nguyên hàm
của hàm số
3
2x
3
F( x) =
− +C
3
x
A.
3
F ( x ) = −3x 3 − + C
x
C.

f ( x) =

2x 4 + 3
x2

( x ≠ 0)

F( x) =

x3 3
− +C
3 x

F( x) =

2x 3 3
+ +C
3
x

B.

D.

f (x) = e x + cos x
24. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
e x + sin x
e x − sin x
−e x + sin x
−e x − sin x
A.
B.
C.
D.
5
P = ∫ (2x + 5) dx
25. Tính:
(2x + 5)6
1 (2x + 5) 6
P =
+C
P = .
+C
6
2
6
A.
B.
6
(2x + 5)
(2x + 5) 6
P =
+C
P =
+C
2
5
C.
D.
.
4
I = ∫ sin x cos xdx
26. Một nguyên hàm của hàm số:
là:
5
5
sin x
cos x
sin 5 x
I=
+C
I=
+C
I=−
+C
I = sin 5 x + C
5
5
5
A.
B.
C.
D.
1
f (x) =
2
cos (2x + 1)
27. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1
−1
1
1
tan(2x + 1)
co t(2x + 1)
2
2
sin (2x + 1)
sin (2x + 1)
2
2
A.
B.
C.
D.
3
( x − 1) x ≠ 0
f ( x) =
(
)
F( x)
x3
28. Nguyên hàm
của hàm số

3
1
3
1
F ( x ) = x − 3ln x + + 2 + C
F ( x ) = x − 3ln x − − 2 + C
x 2x
x 2x
A.
B.
3
1
3
1
F ( x ) = x − 3ln x + − 2 + C
F ( x ) = x − 3ln x − + 2 + C
x 2x
x 2x
C.
D.
2x + 3
f ( x) =
( x ≠ 0)
F ( 1) = 1
x2
29. F(x) là nguyên hàm của hàm số
, biết rằng
. F(x) là biểu thức
nào sau đây
3
3
F ( x ) = 2x − + 2
F ( x ) = 2 ln x + + 2
x
x
A.
B.
3
3
F ( x ) = 2x + − 4
F ( x ) = 2 ln x − + 4
x
x
C.
D.
Trang 41

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

F ( x ) = ex

30. Hàm số

2

là nguyên hàm của hàm số
2

f ( x ) = 2x.e x

2

f ( x ) = e 2x

ex
f ( x) =
2x

f ( x ) = x 2 .e x − 1
2

A.
B.
C.
D.
31. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
11
1
1  sin 6x sin 4x 

− 
+
 sin 6x + sin 4x ÷
÷
26
4
2 6
4 

A. cos6x
B. sin6x
C.
D.
32. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x
1
1
− cos 5x − cos x + C
cos 5x + cos x + C
5
5
A.
B.
5cos 5x + cos x + C
C.
D. Kết quả khác
33. Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3
B. x2 + x - 3
C. x2 + x
D. Kết quả khác
x −x
34. Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4
và f(4) = 0
2
2
8x x x
40
8 x x
40
8x x x 2 40
− −
− −
− +
3
2
3
3
2
3
3
2
3
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
x2
∫ xe dx
35. Nguyên hàm của hàm số

x2
e
+C
2
2
x2
xe + C
ex + C
x + ex
2
A.
B.
C.
D.
2
y = f (x)
f (0) = 3
f ′(x) = (x − x)(x + 1)
36.Tìm hàm số
biết

4
2
x
x
x4 x2
y = f (x) =
− +3
y = f (x) =
− −3
4
2
4
2
A.
B.
x4 x2
y = f (x) =
+ +3
y = f (x) = 3x 2 − 1
4
2
C.
D.
dx
∫ x 2 − 3x + 2
37. Tìm
là:
x−2
x −1
1
1
ln
+C
ln
+C
ln
− ln
+C
ln(x − 2)(x − 1) + C
x −1
x−2
x−2
x −1
A.
B.
C.
D.
∫ x cos 2xdx
38. Tìm
là:
1
1
1
1
x sin 2x + cos 2x + C
x sin 2x + cos 2x + C
2
4
2
2
A.
B.
x 2 sin 2x
+C
sin 2x + C
4
C.
D.

Trang 42

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

39. Tính nguyên hàm

sin x + C
4

A.

40.

Tìm nguyên hàm

A.

C.

3

x cos xdx

ta được kết quả là:
1 4
sin x + C
− sin 4 x + C
4
B.
C.
3 2 4
∫  x + x ÷dx

53 5
x + 4 ln x + C
3


B.

33 5
x − 4 ln x + C
5

41. Kết quả của

A.

∫ sin

x
∫ 1 − x 2 dx

1− x2 + C

D.

là:

−1
1− x2

B.
2
∫ (1 + sin x) dx

C.

42. Tìm nguyên hàm
2
1
x + 2 cos x − sin 2x + C
3
4
A.
2
1
x − 2 cos 2x − sin 2x + C
3
4
C.
2
∫ tan xdx
43. Tính
, kết quả là:

A.

x − tan x + C

33 5
x + 4 ln x + C
5

33 5
x + 4 ln x + C
5

1

+C

B.

D.

− x + tan x + C

D.

1
− sin 4 x + C
4

1− x2

+C
D.

− 1− x2 + C

2
1
x − 2 cos x + sin 2x + C
3
4
2
1
x − 2 cos x − sin 2x + C
3
4

− x − tan x + C

1 3
tan x + C
3

B.
C.
D.
f (x) = x
44. Nguyên hàm của hàm số

1
2
3
+C
x x +C
x x +C
2 x
x +C
3
2
A.
B.
C.
D.
x
f (x)
F(x) = e + t anx + C
45. Hàm số
là nguyên hàm của hàm số
nào ?
1
1
1
1
f (x) = e x − 2
f (x) = e x + 2
f (x) = e x −
f (x) = e x +
2
sin x
sin x
cos x
cos 2 x
A.
B.
C.
D.
3
2
F(−1) = 3
f (x) = 4x − 3x + 2
46. Nguyên hàm F(x) của hàm số
trên R thoả mãn điều kiện

4
3
4
3
4
3
4
3
x − x + 2x + 3
x − x + 2x − 3
x − x + 2x − 4
x − x + 2x + 4
A.
B.
C.
D.

Trang 43

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

f (x) = 2sin 3x.cos3x
47. Một nguyên hàm của hàm số
1
1
cos 2x
− cos 6x
4
6
A.
B.



C.

y = x 1+ x

48.

A.

C.

x2
2

1
F( x) =
3

(

(

1+ x2

1+ x2

)

)

là:

2

F( x) =

1
3

A.

B.

1+ x2

(

)

1+ x2

2

)

3

x2

49. Một nguyên hàm của hàm số
F ( x ) = 3e

1
2

D.
y = 3x.e

(

F( x) =
B.

2

x2

D.

2

Một nguyên hàm của hàm số
F( x) =

− cos3x.sin 3x

1
− sin 2x
4

là:

3 2
F ( x ) = ex
2
y=

50. Một nguyên hàm của hàm số

F( x) =

C.

3x 2 x 2
e
2

F( x) =

D.

x 2 x3
e
2

2 ln x
x

là:
ln x
F( x) =
2
2

F ( x ) = 2 ln 2 x

A.

B.

F ( x ) = ln 2 x

F ( x ) = ln x 2

C.

y = 2x ( e − 1)

D.

x

51. Một nguyên hàm của hàm số
F ( x ) = 2e x ( x − 1) − x 2
A.
F ( x ) = 2e x ( 1 − x ) − 4x 2
C.

là:
B.

F ( x ) = 2e x ( x − 1) − 4x 2
F ( x ) = 2e x ( 1 − x ) − x 2

D.

y = x sin 2x

52. Một nguyên hàm của hàm số
x
1
F ( x ) = cos 2x − sin 2x
2
4
A.
x
1
F ( x ) = − cos 2x + sin 2x
2
2
C.

là:

B.

D.

x
1
F ( x ) = − cos 2x − sin 2x
2
2
x
1
F ( x ) = − cos 2x + sin 2x
2
4

t anx

53. Một nguyên hàm của hàm số f(x) =
e t anx
e t anx
cos 2 x
A.
B.

e
cos 2 x

là:

e t anx + t anx

C.
cos x
5sin x − 9

D.

54. Một nguyên hàm của hàm số: y =
là:
1
1
ln 5sin x − 9
− ln 5sin x − 9
ln 5sin x − 9
5
5
A.
B.
C.
Trang 44

e t anx .t anx

5ln 5sin x − 9

D.

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018

P = ∫ x.e x dx

55. Tính:
P = x.e x + C
A.

B.

P = ex + C
cos 2

C.

C.

C.

B.

1
P = − cos x + cos3 x + C
3

D.
x

(

D.

1
x
sin + C
2
2

+C

1
− cos3 x + C
3

D.

e 2x

)

1
P = cosx + sin 3 x + C
3

C.

là:
1
− x2 2 − x2
3


D.

1 2
x − 4) 2 − x 2
(
3

1

0

B.

bằng:
I=2

C.

I=3

D. I =4

π
2

I = ∫ sin xdx
0

2. Tích phân
A. -1

bằng:
B. 1

C. 2

D. 0

1

I = ∫ (x + 1) 2 dx
0

3. Tích phân
8
3
A.

bằng:

B. 2

+C

1
P = − sin x + sin 3 x + C
3

I = ∫ (3x 2 + 2x − 1)dx

1. Tích phân
I =1
A.

.

3

2 − x2

60. Một nguyên hàm của hàm số:
1
− x2 + 4 2 − x2
2
x 2−x
3
A.
B.
2) Tích phân

D.

1 3
sin x + C
3

C.

P = 3sin x.cos x + C

y=

1
x
cos + C
2
2

e x ln(e x + 2)

2

C.

D.

P = x.e x + e x + C

x
2

56. Nguyên hàm của hàm số: y =
là:
1
1
(x + sin x) + C
(1 + cosx) + C
2
2
A.
B.
57. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
1
cos3 x + C
− cos3 x + C
3
A.
B.
ex
ex + 2
58. Một nguyên hàm của hàm số: y =
là:
x
x
ln(e + 2)
ln(e + 2)
A.2
+C
B.
+C
3
P = ∫ sin xdx
59. Tính:

A.

P = x.e x − e x + C

C.

7
3

Trang 45

D. 4

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018
1

I = ∫ e x +1dx
0

4. Tích phân
e2 − e
A.

bằng:
B.
4

I=∫
3

bằng:
−2 + 3ln 2
B.

A. -1 + 3ln2
I=∫
0

C.

e2 − 1

D. e + 1

x +1
dx
x−2

5. Tích phân
1

e2

C.

4 ln 2

D.

1 + 3ln 2

x +1
dx
x + 2x + 5
2

6. Tích phân
8
ln
5
A.

B.

bằng:
1 8
ln
2 5

2 ln
C.

8
5

−2 ln
D.

8
5

e

7. Tích phân

A.

1
I = ∫ dx
1 x

bằng:

e

B. 1

C. -1

D.

1
e

2

I = ∫ 2e 2x dx
0

8. Tích phân
e4
A.

bằng :
e4 − 1
B.
2
1 

I = ∫  x 2 + 4 ÷dx
x 
1
9. Tích phân
bằng:
19
23
8
8
A.
B.
e
1
I=∫
dx
x+3
1
10. Tích phân
bằng:
ln ( e − 2 )

B.
3

11. Tích phân
A. 24

∫(x

−1

2

I=∫
1

3

C.

21
8

 3+e 
ln 
÷
 4 

D.

D.

D.

bằng:
B. 22
1

( 2x + 1)

2

ln 4 ( e + 3) 

C. 20

D. 18

1
15

1
4

dx
bằng:

B.

1
2

C.

Trang 46

D.

3e 4 − 1

25
8

+ 1) dx

12. Tích phân

A. 1

C.

ln ( e − 7 )

A.
I=

C.

4e4

Tài liệu ôn thi THPTQG năm 2017-2018
1

dx
x − 5x + 6

I=∫

2

0

13. Tích phân

A. I = 1

B.

bằng:
4
I = ln
3

D. I = −ln2

C. I = ln2

1

xdx
(x + 1)3
0

J=∫

14. Tích phân:
1
J=
8
A.

bằng:
1
J=
4
B.
3

K=∫
2

15. Tích phân

C. J =2

x
dx
x −1
2

bằng:

K = ln
A. K = ln2

D. J = 1

B. K = 2ln2

C.

8
3

D.

1 8
K = ln
2 3

3

I=

∫x

1 + x 2 dx

1

16. Tích phân
4− 2
3
A.

B.
1

bằng:
8−2 2
3

C.

4+ 2
3

D.

8+ 2 2
3

I = ∫ x ( 1 − x ) dx
19

0

17. Tích phân
1
420
A.

bằng:
1
380

e

I=∫

18. Tích phân
3− 2
3
A.

1

B.
2 + ln x
dx
2x

B.

C.

bằng:
3+ 2
3

1
342

3− 2
6

C.

1
462

D.

D.

3 3−2 2
3

π
6

I = ∫ tanxdx
0

19. Tích phân
3
ln
2
A.

bằng:
ln
B. 1

3
2

C.

2 3
3

D. Đáp án khác.

2dx

∫ 3 − 2x = ln a
0

20. Tích phân
A. 1

ln

. Giá trị của
B. 2

a

bằng:
C. 3

Trang 47

D. 4